Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . Nosso objetivo é encontrar os autovalores e uma base para os autoespaços correspondentes. Depois, vamos verificar se o operador é diagonalizável e, se for, determinar a matriz diagonal e a matriz que contém os autovetores.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes, autovalores, autovetores e diagonalização. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vamos explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador na forma de uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada vai ser uma matriz 3x3. Observando a definição de :
Podemos escrever a matriz de como:
Cada coluna de A representa como T age sobre os vetores base (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de T . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. Vamos montar A - lambda I :
Portanto, os autovalores são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = 3 .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Lembrando que um autovetor [\mathbf{v}) associado a satisfaz .
Autovalor :
Vamos montar :
Escrevendo o sistema linear:
Simplificando, temos:
3. (redundante, já que )
Portanto, as soluções são da forma livre, , . Assim, os autovetores associados a são múltiplos de .
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
Autovalor :
Agora, vamos montar :
Escrevendo o sistema linear:
Observamos que as equações 2 e 3 são:
Somando essas duas equações:
Isso significa que temos apenas duas equações independentes:
Então, as soluções são da forma livre, com e . Podemos parametrizar , então os autovetores são:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é:
Passo 5
Agora que encontramos os autovalores e uma base para cada autoespaço, vamos verificar se T é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se houver uma base de R^3 composta por seus autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos autoespares for igual a 3.
Temos:
Para lambda = 2 , uma dimensão (um autovetor).
Para lambda = 3 , uma dimensão (um autovetor).
Somando, temos 1 + 1 = 2 , que é menor que 3. Isso significa que T não é diagonalizável, pois não conseguimos encontrar três vetores linearmente independentes que sejam autovetores de T .
Passo 6
Como T não é diagonalizável, não é possível construir a matriz diagonal D e a matriz P de autovetores que atenderiam aos requisitos. Portanto, não podemos prosseguir com essa parte da questão.
Resposta
Os autovalores de T são lambda = 2 e lambda = 3 . Uma base para os autoespaços correspondentes é:
Para lambda = 2 : 1 0 0
Para lambda = 3 : 1 1 -2
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, o operador T não é diagonalizável.