Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 z)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z) = (2x + y, y - z, 2y + 4z) . Nosso objetivo é encontrar os autovalores e uma base para os autoespaços correspondentes. Depois, vamos verificar se o operador T é diagonalizável e, se for, determinar a matriz diagonal D e a matriz P que contém os autovetores.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes, autovalores, autovetores e diagonalização. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T na forma de uma matriz. Como T mapeia R^3 para R^3 , a matriz associada vai ser uma matriz 3x3. Observando a definição de T :
T(x, y, z) = (2x + y, y - z, 2y + 4z)
Podemos escrever a matriz de T como:
A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4
Cada coluna de A representa como T age sobre os vetores base (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de T . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & -1 0 & 2 & 4 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 1 - lambda & -1 2 & 4 - lambda - 1 cdot det 0 & -1 0 & 4 - lambda + 0 cdot det 0 & 1 - lambda 0 & 2
Calculando os menores:
det 1 - lambda & -1 2 & 4 - lambda = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
= (4 - lambda - 4lambda + lambda^2) + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
det 0 & -1 0 & 4 - lambda = 0 cdot (4 - lambda) - (-1) cdot 0 = 0
Então, o determinante total fica:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) - 1 cdot 0 + 0 = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Igualando a zero:
(2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0
Resolvendo, temos:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 Rightarrow (lambda - 2)(lambda - 3) = 0 Rightarrow lambda = 2 ou lambda = 3
Portanto, os autovalores são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = 3 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Lembrando que um autovetor [\mathbf{v}) associado a satisfaz .

Autovalor :

Vamos montar :
Escrevendo o sistema linear:
Simplificando, temos:

  1. 3. (redundante, já que )
Portanto, as soluções são da forma livre, , . Assim, os autovetores associados a são múltiplos de .
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:

Autovalor :

Agora, vamos montar :
Escrevendo o sistema linear:
Observamos que as equações 2 e 3 são:
Somando essas duas equações:
Isso significa que temos apenas duas equações independentes:
Então, as soluções são da forma livre, com e . Podemos parametrizar , então os autovetores são:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é:

Passo 5

Agora que encontramos os autovalores e uma base para cada autoespaço, vamos verificar se T é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se houver uma base de R^3 composta por seus autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos autoespares for igual a 3.
Temos:
  • Para lambda = 2 , uma dimensão (um autovetor).
  • Para lambda = 3 , uma dimensão (um autovetor).
Somando, temos 1 + 1 = 2 , que é menor que 3. Isso significa que T não é diagonalizável, pois não conseguimos encontrar três vetores linearmente independentes que sejam autovetores de T .

Passo 6

Como T não é diagonalizável, não é possível construir a matriz diagonal D e a matriz P de autovetores que atenderiam aos requisitos. Portanto, não podemos prosseguir com essa parte da questão.

Resposta

Os autovalores de T são lambda = 2 e lambda = 3 . Uma base para os autoespaços correspondentes é:
  • Para lambda = 2 : 1 0 0
  • Para lambda = 3 : 1 1 -2
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, o operador T não é diagonalizável.

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