Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \boldsymbol{F}(x, y, z)-x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional e a divergente do campo vetorial \boldsymbol{F}(x,y,z) = x\,\boldsymbol{i} + y\,\boldsymbol{j} + z\,\boldsymbol{k}.
O conteúdo aqui é cálculo de operadores diferenciais:
– a divergente é \nabla\cdot\boldsymbol{F},
– o rotacional é \nabla\times\boldsymbol{F}.
Passo 2
Para o rotacional usamos a fórmula
\nabla \times \boldsymbol{F} =\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\[6pt] \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\[3pt] x & y & z \end{vmatrix}.
Isso dá
(\partial_y z - \partial_z y)\,\boldsymbol{i} \;+\;(\partial_z x - \partial_x z)\,\boldsymbol{j} \;+\;(\partial_x y - \partial_y x)\,\boldsymbol{k} =0\,\boldsymbol{i}+0\,\boldsymbol{j}+0\,\boldsymbol{k}.
Logo \nabla \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}.]