Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} z \mathbf{i}-x^{2} y z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional e a divergente do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=y^{2}z\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}-x^{2}y z\,\mathbf{k}.
O conteúdo é cálculo vetorial, em especial os operadores \nabla\times (rotacional) e \nabla\cdot (divergente). Vamos escrever \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P=y^{2}z, Q=0 e R=-x^{2}yz.

Passo 2

Para achar o rotacional usamos a definição
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(\partial_y R-\partial_z Q,\;\partial_z P-\partial_x R,\;\partial_x Q-\partial_y P\bigr).
Calculemos cada componente:
\partial_y R=\partial_y(-x^2yz)=-x^2z,
\partial_z Q=\partial_z 0=0,
logo a componente i é
\partial_y R-\partial_z Q=-x^2z-0=-x^2z.
Em j:
\partial_z P=\partial_z(y^2z)=y^2,
\partial_x R=\partial_x(-x^2yz)=-2xy z,
\partial_z P-\partial_x R=y^2-(-2xy z)=y^2+2xy z.
Em k:
\partial_x Q=0,
\partial_y P=\partial_y(y^2z)=2yz,
\partial_x Q-\partial_y P=0-2yz=-2yz.
Portanto,
\nabla\times\mathbf{F} =(-x^2z,\;y^2+2xy z,\;-2yz).

Passo 3

Para a divergente usamos
\nabla\cdot\mathbf{F} =\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R.
Calculando:
\partial_x P=\partial_x(y^2z)=0,
\partial_y Q=0,
\partial_z R=\partial_z(-x^2y z)=-x^2y.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F} =0+0+(-x^2y)=-x^2y.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=(-x^2z,\;y^2+2xy z,\;-2yz)
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=-x^2y

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