Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y \mathbf{i}+y z^{2} \mathbf{j}+z x^{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (a) o rotacional e (b) a divergente do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}y\,\mathbf{i}+yz^{2}\,\mathbf{j}+zx^{2}\,\mathbf{k}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial, usando os operadores nabla para definir
o rotacional \nabla\times \mathbf{F} e a divergente \nabla\cdot \mathbf{F}.

Passo 2

Para encontrar o rotacional usamos a definição em termos de determinante:
\nabla\times \mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ x^{2}y & yz^{2} & zx^{2} \end{vmatrix}.
Isso equivale a calcular cada componente como
(\nabla\times\mathbf{F})_{1} =\frac{\partial}{\partial y}(zx^{2})-\frac{\partial}{\partial z}(yz^{2}),
(\nabla\times\mathbf{F})_{2} =\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y)-\frac{\partial}{\partial x}(zx^{2}),
(\nabla\times\mathbf{F})_{3} =\frac{\partial}{\partial x}(yz^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y).

Passo 3

Calculemos cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}(zx^{2})=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}(yz^{2})=2yz,
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y)=0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(zx^{2})=2xz,
\frac{\partial}{\partial x}(yz^{2})=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
Substituindo:
(\nabla\times\mathbf{F})_{1}=0-2yz=-2yz,
(\nabla\times\mathbf{F})_{2}=0-2xz=-2xz,
(\nabla\times\mathbf{F})_{3}=0-x^{2}=-x^{2}.

Passo 4

Portanto o rotacional é
\nabla\times \mathbf{F} =-2yz\,\mathbf{i}-2xz\,\mathbf{j}-x^{2}\,\mathbf{k}.

Passo 5

Para a divergente usamos a definição
\nabla\cdot \mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) +\frac{\partial}{\partial y}(yz^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(zx^{2}).
Calculando as derivadas:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy, \quad \frac{\partial}{\partial y}(yz^{2})=z^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial z}(zx^{2})=x^{2}.
Logo
\nabla\cdot \mathbf{F} =2xy+z^{2}+x^{2}.

Resposta

(a) \nabla\times \mathbf{F}=-2yz\,\mathbf{i}-2xz\,\mathbf{j}-x^{2}\,\mathbf{k}.
(b) \nabla\cdot \mathbf{F}=2xy+z^{2}+x^{2}.

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