Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=(x+3 y-5 z) \mathbf{i}+(z-3 y) \mathbf{j}+(5 x+6 y-z) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (F_x,F_y,F_z) = (\,x + 3y - 5z,\;z - 3y,\;5x + 6y - z\,)
e pede (a) o rotacional \nabla \times \mathbf{F} e (b) a divergente \nabla\cdot\mathbf{F}. Vamos usar o operador nabla
\nabla = \bigl(\partial_x,\partial_y,\partial_z\bigr)
e as definições padrão de cálculo vetorial.

Passo 2

A definição do rotacional é
\nabla \times \mathbf{F} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}
e a da divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F} = \partial_x F_x \;+\;\partial_y F_y \;+\;\partial_z F_z.

Passo 3

Vamos calcular cada componente de \nabla\times\mathbf{F}:
i) Componente em \mathbf{i}:
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_x = \partial_y F_z \;-\;\partial_z F_y = \partial_y(5x+6y-z)\;-\;\partial_z(z-3y) = 6 - 1 = 5.
ii) Componente em \mathbf{j}:
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_y = \partial_z F_x \;-\;\partial_x F_z = \partial_z(x+3y-5z)\;-\;\partial_x(5x+6y-z) = (-5) - 5 = -10.
iii) Componente em \mathbf{k}:
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_z = \partial_x F_y \;-\;\partial_y F_x = \partial_x(z-3y)\;-\;\partial_y(x+3y-5z) = 0 - 3 = -3.
Logo
\nabla \times \mathbf{F} = (5,\,-10,\,-3).

Passo 4

Agora a divergente:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z = \partial_x(x+3y-5z) + \partial_y(z-3y) + \partial_z(5x+6y-z) = 1 + (-3) + (-1) = -3.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla\times\mathbf{F} = (5,\,-10,\,-3)
(b) \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F} = -3

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