Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \mathbf{F}(x, y, z)=(x+3 y-5 z) \mathbf{i}+(z-3 y) \mathbf{j}+(5 x+6 y-z) \mathbf{k} Passo 1O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) = (F_x,F_y,F_z) = (\,x + 3y - 5z,\;z - 3y,\;5x + 6y - z\,) e pede (a) o rotacional \nabla \times \mathbf{F} e (b) a divergente \nabla\cdot\mathbf{F}. Vamos usar o operador nabla \nabla = \bigl(\partial_x,\partial_y,\partial_z\bigr) e as definições padrão de cálculo vetorial. Passo 2A definição do rotacional é \nabla \times \mathbf{F} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} e a da divergente é \nabla\cdot\mathbf{F} = \partial_x F_x \;+\;\partial_y F_y \;+\;\partial_z F_z. Passo 3Vamos calcular cada componente de \nabla\times\mathbf{F}: i) Componente em \mathbf{i}: \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_x = \partial_y F_z \;-\;\partial_z F_y = \partial_y(5x+6y-z)\;-\;\partial_z(z-3y) = 6 - 1 = 5. ii) Componente em \mathbf{j}: \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_y = \partial_z F_x \;-\;\partial_x F_z = \partial_z(x+3y-5z)\;-\;\partial_x(5x+6y-z) = (-5) - 5 = -10. iii) Componente em \mathbf{k}: \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_z = \partial_x F_y \;-\;\partial_y F_x = \partial_x(z-3y)\;-\;\partial_y(x+3y-5z) = 0 - 3 = -3. Logo \nabla \times \mathbf{F} = (5,\,-10,\,-3). Passo 4Agora a divergente: \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z = \partial_x(x+3y-5z) + \partial_y(z-3y) + \partial_z(5x+6y-z) = 1 + (-3) + (-1) = -3. Resposta(a) \displaystyle \nabla\times\mathbf{F} = (5,\,-10,\,-3) (b) \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F} = -3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x z} \mathbf{i}-2 e^{y z} \mathbf{j}+3 x e^{y} \mathbf{k} Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} x \mathbf{i}+\cos x \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k} Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \mathbf{F}(x, y, z)=x e^{y} \mathbf{i}-z e^{-y} \mathbf{j}+y \ln z \mathbf{k} Determine(a)a rotacional e(b)a divergente do campo vetorial. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y z} \mathbf{i}+\operatorname{sen}(x-y) \mathbf{j}-\frac{x y}{z} \mathbf{k}