Determine,caso existam,os valores de
λ ∈ ℝ para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(d)(λ^{2}-1) x{2}+2(λ{2}-1)(λ-1) x+(λ^{2}-4) y{2}=(λ-1){2} .

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que a curva
( \lambda^{2}-1 )\,x^{2} \;+\;2(\lambda^{2}-1)(\lambda-1)\,x\;+\;( \lambda^{2}-4 )\,y^{2} \;=\;(\lambda-1)^{2}
seja uma hipérbole, incluindo eventual caso degenerado.
A teoria usada é a classificação de cônicas sem termo em xy via o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC e a verificação de degeneração pela condição de determinante nulo da matriz associada.

Passo 2

Colocando tudo em zero, temos
A = \lambda^{2}-1,\quad B = 0,\quad C = \lambda^{2}-4,\quad D = 2(\lambda^{2}-1)(\lambda-1),\quad E=0,\quad F = -(\lambda-1)^{2}.
Para que seja hipérbole não degenerada precisamos de
\Delta \;=\;B^{2} - 4AC \;>\;0.

Passo 3

Calculando
\Delta = 0^{2} - 4(\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-4) = -4\,(\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-4).
Logo \Delta>0 equivale a
(\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-4)<0,
que se resolve como
1<\lambda^{2}<4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda\in(-2,-1)\,\cup\,(1,2).

Passo 4

Para checar degeneração, formamos o determinante da matriz
\begin{vmatrix} A & B/2 & D/2\\\ B/2 & C & E/2\\\ D/2 & E/2 & F \end{vmatrix} = -(\lambda-1)^{2}\,\lambda^{2}\,(\lambda^{2}-1)\,(\lambda^{2}-4).
Esse determinante anula-se em \lambda\in\{-2,-1,0,1,2\}.

Passo 5

Interseccionando com a condição \Delta>0 (hipérbole), vemos que não há \lambda comum a \{-2,-1,0,1,2\} e a (-2,-1)\cup(1,2). Portanto não surge caso degenerado de hipérbole.

Resposta

\lambda\in(-2,-1)\,\cup\,(1,2).

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