Determine,caso existam,os valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(\lambda-1) x^{2}+(\lambda-3) y^{2}=\lambda-2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva
(\lambda - 1)\,x^{2} + (\lambda - 3)\,y^{2} = \lambda - 2
como hipérbole (incluindo o caso degenerado). O tema é classificação de cônicas sem termo misto nem termos lineares, usando os sinais dos coeficientes dos quadráticos.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
A\,x^{2} + B\,y^{2} = C
onde
A = \lambda - 1,\quad B = \lambda - 3,\quad C = \lambda - 2.

Passo 3

Para uma cônica do tipo A\,x^{2} + B\,y^{2}=C, temos:
se A\cdot B<0 então é hipérbole (não degenerada se C\neq0);
se A\cdot B<0 e C=0 então é hipérbole degenerada (duas retas).

Passo 4

Calculamos a condição A\cdot B<0:
(\lambda - 1)(\lambda - 3) < 0
As raízes são \lambda=1 e \lambda=3, e o produto é negativo para
1 < \lambda < 3.

Passo 5

Verificamos degenerescência: é degenerada se C=0, ou seja
\lambda - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2.
Nesse caso a equação fica
(2-1)\,x^{2} + (2-3)\,y^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} - y^{2} = 0,
que é de fato duas retas y=\pm x.

Resposta

A equação representa hipérbole para
1 < \lambda < 3.
Ela é degenerada exatamente em \lambda=2, quando se reduz a duas retas.

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