Questão. ( 35 pontos) Encontre a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é o método da equação característica: associar à EDO um polinômio em
, achar suas raízes e montar a solução a partir delas.
Passo 2
Formamos a equação característica trocando
por
. Assim obtemos
Passo 3
Para resolver
, fazemos a mudança de variável
. Isso leva a
Resolvendo em
:
logo
Voltando a
:
- de
vem (raízes reais distintas); - de
vem (raízes complexas conjugadas).
Passo 4
Cada raiz gera uma solução elementar:
- para
e , as soluções são e ; - para
, as soluções reais correspondentes são e .
Como as quatro raízes são simples, a solução geral é a combinação linear dessas quatro funções independentes.
Resposta
onde
são constantes arbitárias.