{ }^{a} Questão. ( 35 pontos) Encontre a solução geral de y^{i v}-y^{\prime \prime}-6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} - y'' - 6\,y = 0.
O conteúdo aqui é o método da equação característica: associar à EDO um polinômio em r, achar suas raízes e montar a solução a partir delas.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y^{(k)} por r^k. Assim obtemos
r^4 - r^2 - 6 = 0.

Passo 3

Para resolver r^4 - r^2 - 6 = 0, fazemos a mudança de variável s = r^2. Isso leva a
s^2 - s - 6 = 0.
Resolvendo em s:
s = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
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s_1 = 3,\quad s_2 = -2.
Voltando a r:
  • de s_1=3 vem r = \pm \sqrt{3} (raízes reais distintas);
  • de s_2=-2 vem r = \pm i\sqrt{2} (raízes complexas conjugadas).

Passo 4

Cada raiz gera uma solução elementar:
  • para r=\sqrt{3} e r=-\sqrt{3}, as soluções são e^{\sqrt{3}x} e e^{-\sqrt{3}x};
  • para r=\pm i\sqrt{2}, as soluções reais correspondentes são \cos(\sqrt{2}x) e \sin(\sqrt{2}x).
    Como as quatro raízes são simples, a solução geral é a combinação linear dessas quatro funções independentes.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{\sqrt{3}\,x} + C_{2}\,e^{-\sqrt{3}\,x} + C_{3}\,\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C_{4}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitárias.

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