Determive se
V1=(1,7,-3), V2=(2,1,4), V3=(6,5,1)
forman una base do pi^3

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
V1=(1,7,-3), V2=(2,1,4), V3=(6,5,1),
e pede para verificar se eles formam uma base de R^3.
Para isso, vamos checar se são linearmente independentes, o que equivale a calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e verificar se ele é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são V1,V2,V3:
A = 1 & 2 & 6 7 & 1 & 5 -3 & 4 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A pelo método de Sarrus ou expansão por cofatores. Usando Sarrus:
det(A) = 1cdot(1cdot1 - 4cdot5) - 7cdot(2cdot1 - 4cdot6) + (-3)cdot(2cdot5 - 1cdot6)
Agora os cálculos:
1cdot(1 - 20) = -19, -7cdot(2 - 24) = -7cdot(-22)=154, -3cdot(10 - 6) = -3cdot4=-12
Somando os termos:
det(A) = -19 + 154 - 12 = 123
Como det(A)=123neq0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores V1,V2,V3 formam uma base de R^3 pois o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

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