Suponha que m e n são vetores no espaço, que satisfaça |m times n|=3 raiz3,|m|=raiz2 e o theta entre eles, m e n é pi / 3. Calcular |n|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, m e n, no espaço. Sabemos que a magnitude do produto vetorial deles, |m times n|, é 3raiz3, a magnitude de m, |m|, é raiz2, e o ângulo entre eles, theta, é pi/3 (que é 60 graus). Nosso objetivo é descobrir a magnitude do vetor n, ou seja, |n|.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o produto vetorial com as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles. A fórmula é:
|m times n| = |m| cdot |n| cdot sin(theta)
Essa fórmula nos diz que a magnitude do produto vetorial é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que:
|m times n| = 3raiz3
|m| = raiz2
theta = pi3
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
3raiz3 = raiz2 cdot |n| cdot sin(pi3)

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar |n|. Primeiro, calculamos o seno de pi/3:
sin(pi3) = raiz32
Substituindo de volta na equação:
3raiz3 = raiz2 cdot |n| cdot raiz32
Agora, isolamos |n|:
|n| = 3raiz3 cdot 2raiz2 cdot raiz3
Simplificando:
|n| = 6raiz3raiz6 = 6raiz3raiz6 = 6raiz2 = 3raiz2

Resposta

A magnitude do vetor n é 3raiz2.

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