Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
f(x, y)=3+\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3+\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio (todos os pares (x,y) onde f está definida).
  • Esboçar o gráfico (descrever geometricamente a superfície em \mathbb{R}^3).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada real \sqrt{\;\cdot\;}.
  • A raiz está aplicada à expressão 9-x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Condição de existência da raiz: para a raiz quadrada real estar definida precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto impomos
9-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Reescrevendo, obtemos a desigualdade
x^{2}+y^{2}\le 9.
Explicando passo a passo: a expressão x^{2}+y^{2} é sempre não negativa para todo (x,y). A condição acima diz que essa soma não pode ultrapassar 9. Geometricamente, o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade é o disco fechado de raio 3 centrado na origem do plano xy.

Passo 3

Conclusão sobre o domínio: juntando tudo,
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
Comentário didático: “disco fechado” significa que pontos com x^{2}+y^{2}<9 (interior do disco) e também os pontos com x^{2}+y^{2}=9 (fronteira) estão incluídos. A fronteira está incluída porque a raiz de 0 é 0, logo f está definida para esses pontos.

Passo 4

Intervalo de valores (para ajudar no esboço): para (x,y) no domínio temos
0\le \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\le 3,
logo
3\le f(x,y)\le 6.
Exemplos úteis:
  • No centro (0,0): f(0,0)=3+\sqrt{9}=3+3=6 (ponto mais alto).
  • Na fronteira x^{2}+y^{2}=9: f=3+\sqrt{0}=3 (altura mínima na superfície).

Passo 5

Interpretação geométrica do gráfico: seja z=f(x,y). Colocando u=z-3 temos u=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}. Elevando ao quadrado:
u^{2}=9-x^{2}-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+u^{2}=9.
Voltando para z,
x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9,
com a condição adicional z-3\ge 0 (porque u=\sqrt{\cdot}\ge0), ou seja z\ge 3. Portanto a superfície é exatamente a metade superior da esfera de centro (0,0,3) e raio 3. Em outras palavras: é o hemisfério superior dessa esfera (desde z=3 na borda até z=6 no topo).

Passo 6

Como esboçar na prova (passos práticos):
  1. No plano xy desenhe o disco de raio 3 centrado na origem (projeção do domínio).
  2. No centro do disco ( x=0,y=0 ) marque a altura z=6.
  3. Na borda do disco ( x^{2}+y^{2}=9 ) marque a altura z=3.
  4. Ligue suavemente a borda ao topo com curvas semicirculares (as seções y= constante ou x= constante são semicircunferências), obtendo um hemisfério apoiado sobre o plano z=3.
    Dica: as seções para y=0 são dadas por
z=3+\sqrt{9-x^{2}},\qquad -3\le x\le 3,
que são semicircunferências no plano xz.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}
Gráfico: superfície \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9,\\ z\ge 3\} — o hemisfério superior da esfera de centro (0,0,3) e raio 3.

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