Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio (todos os pares
onde está definida). - Esboçar o gráfico (descrever geometricamente a superfície em
).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada real
. - A raiz está aplicada à expressão
.
Passo 2
Condição de existência da raiz: para a raiz quadrada real estar definida precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto impomos
Reescrevendo, obtemos a desigualdade
Explicando passo a passo: a expressão
é sempre não negativa para todo
. A condição acima diz que essa soma não pode ultrapassar
. Geometricamente, o conjunto de pontos
que satisfazem essa desigualdade é o disco fechado de raio
centrado na origem do plano
.
Passo 3
Conclusão sobre o domínio: juntando tudo,
Comentário didático: “disco fechado” significa que pontos com
(interior do disco) e também os pontos com
(fronteira) estão incluídos. A fronteira está incluída porque a raiz de
é
, logo
está definida para esses pontos.
Passo 4
Intervalo de valores (para ajudar no esboço): para
no domínio temos
logo
Exemplos úteis:
- No centro
: (ponto mais alto). - Na fronteira
: (altura mínima na superfície).
Passo 5
Interpretação geométrica do gráfico: seja
. Colocando
temos
. Elevando ao quadrado:
Voltando para
,
com a condição adicional
(porque
), ou seja
. Portanto a superfície é exatamente a metade superior da esfera de centro
e raio
. Em outras palavras: é o hemisfério superior dessa esfera (desde
na borda até
no topo).
Passo 6
Como esboçar na prova (passos práticos):
- No plano
desenhe o disco de raio centrado na origem (projeção do domínio). - No centro do disco (
) marque a altura . - Na borda do disco (
) marque a altura . - Ligue suavemente a borda ao topo com curvas semicirculares (as seções
constante ou constante são semicircunferências), obtendo um hemisfério apoiado sobre o plano .
Dica: as seções parasão dadas por
que são semicircunferências no plano
.
Resposta
Domínio:
Gráfico: superfície
— o hemisfério superior da esfera de centro
e raio
.