Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, a superfície no espaço tridimensional associada a
).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma expressão linear em
e . - Não há restrições explícitas (como raízes pares, divisão por zero, logaritmos, etc.) no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que é o domínio e como decidir: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (é bem definida). Regras práticas:
- Se a expressão envolve soma, multiplicação e constantes, normalmente não há restrição.
- Se aparecer divisão por uma expressão que pode ser zero, exclui-se onde o denominador é zero.
- Se aparecer logaritmo, exige-se argumento positivo.
- Se aparecer raiz par, exige-se que o radicando seja não negativo.
Aplicando isso à nossa função: a expressão
é soma e multiplicação de
e
por constantes; não há divisão, log, nem raiz. Logo, a função está bem definida para qualquer par
.
Portanto o domínio é
Passo 3
O que é o gráfico de
? Para funções de duas variáveis, o gráfico é a superfície no espaço
formada pelos pontos
tais que
Isso é uma equação afim (linear) em
, portanto o gráfico é um plano em
.
Uma forma alternativa de escrever a equação do plano é colocá‑la igual a zero:
A partir daí fica fácil ler o vetor normal ao plano:
, porque os coeficientes de
na forma
formam
.
Passo 4
Pontos-chave para desenhar o plano: interceptos com os eixos coordenados.
Intercepto com o eixo
(tomando
):
Ponto:
.
Intercepto com o eixo
(tomando
):
Ponto:
.
Intercepto com o eixo
(tomando
):
Ponto:
.
Esses três pontos estão no plano e são suficientes para determinar geometricamente a posição do plano.
Passo 5
Forma paramétrica útil (para desenhar e entender direções do plano). Tomando
e
como parâmetros, uma forma vetorial do gráfico é
Escrevendo a partir do ponto
:
Então vetores diretores do plano são
Verificação de coerência: o vetor normal
é ortogonal a ambos:
Portanto a parametrização e o vetor normal estão corretos.
Passo 6
Interpretação geométrica e curvas de nível (ajuda a esboçar):
- Curvas de nível são dadas por
, ou seja
Reescrevendo:
Para valores diferentes de
obtemos retas paralelas no plano
com inclinação
. Na superfície, essas retas de nível correspondem às interseções do plano com planos horizontais
.
- Se fixarmos
e variarmos , a secção vertical é uma reta com declive em dada por . Se fixarmos e variarmos , a secção tem declive . Esses números são as taxas de variação do plano nas direções e .
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo que dá para fazer à mão, sem calculadora):
- Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo
apontando para a direita, eixo para cima‑esquerda no plano do papel (ou para trás) e eixo vertical para cima. - Marque os interceptos que calculamos:
-
no eixo (altitude ). -
no eixo . -
no eixo .
-
- Conecte esses três pontos com um plano (uma “folha” plana passando por eles). Como verificação visual, escolha mais alguns pontos fáceis:
- Para
: . Ponto confirma subida na direção . - Para
: . Ponto confirma descida na direção .
- Para
- Trace uma face plana que passa por esses pontos e sombreie levemente para indicar que é um plano infinito.
Dica visual: o plano sobe quando
aumenta (coeficiente
) e desce quando
aumenta (coeficiente
), e o termo constante
desloca o plano para cima (interseção
em
).
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que decorar e aplicar rápido):
- Se a função é polinomial linear como
, o domínio é . - O gráfico é um plano
. Para esboçar: calcule interceptos com os eixos ou alguns pontos simples, obtenha um vetor normal a partir dos coeficientes e desenhe o plano passando por três pontos não colineares.
Resposta
Domínio:
Gráfico: plano em dado por
(passa por
,
e
; vetor normal
).
Gráfico: plano em