Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
f(x, y)=2 x-3 y+6

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=2x-3y+6
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, a superfície no espaço tridimensional associada a f).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma expressão linear em x e y.
  • Não há restrições explícitas (como raízes pares, divisão por zero, logaritmos, etc.) no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que é o domínio e como decidir: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f(x,y) faz sentido (é bem definida). Regras práticas:
  • Se a expressão envolve soma, multiplicação e constantes, normalmente não há restrição.
  • Se aparecer divisão por uma expressão que pode ser zero, exclui-se onde o denominador é zero.
  • Se aparecer logaritmo, exige-se argumento positivo.
  • Se aparecer raiz par, exige-se que o radicando seja não negativo.
Aplicando isso à nossa função: a expressão 2x-3y+6 é soma e multiplicação de x e y por constantes; não há divisão, log, nem raiz. Logo, a função está bem definida para qualquer par (x,y).
Portanto o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

O que é o gráfico de f? Para funções de duas variáveis, o gráfico é a superfície no espaço \mathbb{R}^3 formada pelos pontos (x,y,z) tais que
z=f(x,y)=2x-3y+6.
Isso é uma equação afim (linear) em x,y,z, portanto o gráfico é um plano em \mathbb{R}^3.
Uma forma alternativa de escrever a equação do plano é colocá‑la igual a zero:
2x-3y-z+6=0.
A partir daí fica fácil ler o vetor normal ao plano: \mathbf{n}=(2,-3,-1), porque os coeficientes de x,y,z na forma ax+by+cz+d=0 formam (a,b,c).

Passo 4

Pontos-chave para desenhar o plano: interceptos com os eixos coordenados.
Intercepto com o eixo z (tomando x=0,y=0):
z=f(0,0)=2\cdot0-3\cdot0+6=6.
Ponto: (0,0,6).
Intercepto com o eixo x (tomando y=0,z=0):
0=2x-3\cdot0+6 \quad\Rightarrow\quad 2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Ponto: (-3,0,0).
Intercepto com o eixo y (tomando x=0,z=0):
0=2\cdot0-3y+6 \quad\Rightarrow\quad -3y+6=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Ponto: (0,2,0).
Esses três pontos estão no plano e são suficientes para determinar geometricamente a posição do plano.

Passo 5

Forma paramétrica útil (para desenhar e entender direções do plano). Tomando x e y como parâmetros, uma forma vetorial do gráfico é
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,2x-3y+6).
Escrevendo a partir do ponto (0,0,6):
\mathbf{r}(x,y)=(0,0,6)+x\,(1,0,2)+y\,(0,1,-3).
Então vetores diretores do plano são
\mathbf{v}_1=(1,0,2),\qquad \mathbf{v}_2=(0,1,-3).
Verificação de coerência: o vetor normal \mathbf{n}=(2,-3,-1) é ortogonal a ambos:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1=2\cdot1+(-3)\cdot0+(-1)\cdot2=2-2=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2=2\cdot0+(-3)\cdot1+(-1)\cdot(-3)=-3+3=0.
Portanto a parametrização e o vetor normal estão corretos.

Passo 6

Interpretação geométrica e curvas de nível (ajuda a esboçar):
  • Curvas de nível são dadas por f(x,y)=c, ou seja
2x-3y+6=c.
Reescrevendo:
2x-3y+(6-c)=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}x+\frac{6-c}{3}.
Para valores diferentes de c obtemos retas paralelas no plano xy com inclinação \dfrac{2}{3}. Na superfície, essas retas de nível correspondem às interseções do plano com planos horizontais z=c.
  • Se fixarmos x e variarmos y, a secção vertical é uma reta com declive em z dada por \dfrac{\partial z}{\partial y}=-3. Se fixarmos y e variarmos x, a secção tem declive \dfrac{\partial z}{\partial x}=2. Esses números são as taxas de variação do plano nas direções x e y.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo que dá para fazer à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo x apontando para a direita, eixo y para cima‑esquerda no plano do papel (ou para trás) e eixo z vertical para cima.
  2. Marque os interceptos que calculamos:
    • (0,0,6) no eixo z (altitude 6).
    • (-3,0,0) no eixo x.
    • (0,2,0) no eixo y.
  3. Conecte esses três pontos com um plano (uma “folha” plana passando por eles). Como verificação visual, escolha mais alguns pontos fáceis:
    • Para (x,y)=(1,0): z=2\cdot1-3\cdot0+6=8. Ponto (1,0,8) confirma subida na direção x.
    • Para (x,y)=(0,1): z=2\cdot0-3\cdot1+6=3. Ponto (0,1,3) confirma descida na direção y.
  4. Trace uma face plana que passa por esses pontos e sombreie levemente para indicar que é um plano infinito.
Dica visual: o plano sobe quando x aumenta (coeficiente 2>0) e desce quando y aumenta (coeficiente -3<0), e o termo constante 6 desloca o plano para cima (interseção z=6 em (0,0)).

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que decorar e aplicar rápido):
  • Se a função é polinomial linear como \,2x-3y+6, o domínio é \mathbb{R}^2.
  • O gráfico é um plano z=2x-3y+6. Para esboçar: calcule interceptos com os eixos ou alguns pontos simples, obtenha um vetor normal a partir dos coeficientes e desenhe o plano passando por três pontos não colineares.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Gráfico: plano em \mathbb{R}^3 dado por z=2x-3y+6 (passa por (0,0,6), (-3,0,0) e (0,2,0); vetor normal \mathbf{n}=(2,-3,-1)).

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