Deterṇine o plano que seja paralelo ao plano z=2 x-y+1 e tangente ao gráfico da função f(x, y)=4 x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos um plano que seja paralelo ao plano
z = 2x - y + 1
e que seja tangente à superfície dada pelo gráfico de
f(x,y) = 4x^2 + y^2
O conteúdo envolvido é o de plano tangente a superfícies e condição de paralelismo de planos via vetores normais.

Passo 2

Para uma superfície z = f(x,y) diferenciável, o plano tangente em (x0,y0) tem equação
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) ;+; fy(x0,y0),(y - y0),
cujo vetor normal é
n = l(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1r)

Passo 3

O plano dado tem vetor normal
n0 = (2,,-1,,-1)
Para que o plano tangente seja paralelo a este, deve ocorrer
(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1) = lambda,(2,,-1,,-1)
para algum lambda. Da terceira componente vem -1 = -lambda, logo lambda = 1. Então
fx(x0,y0) = 2, fy(x0,y0) = -1
Como
fx(x,y) = 8x, fy(x,y) = 2y,
temos
8x0 = 2 ;Longrightarrow; x0 = tfrac14, 2y0 = -1 ;Longrightarrow; y0 = -tfrac12

Passo 4

Computamos z0 = f(x0,y0):
z0 = 4l(tfrac14r)^2 + l(-tfrac12r)^2 = 4cdottfrac116 + tfrac14 = tfrac14 + tfrac14 = tfrac12

Passo 5

Substituindo em
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
temos
z - tfrac12 = 2l(x - tfrac14r) -1l(y + tfrac12r)
Fazendo as contas:
z - tfrac12 = 2x - tfrac12 - y - tfrac12 = 2x - y - 1 ;Longrightarrow; z = 2x - y - tfrac12

Resposta

z = 2x - y - tfrac12

Exercícios relacionados