K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty (-1)^k+12^kk^3,3^k+2
verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional.
O conteúdo é testes de convergência de séries de termos alternados e de séries de termos positivos.

Passo 2

Para checar convergência absoluta, consideramos
bk=|(-1)^k+12^kk^3,3^k+2| =2^kk^3,3^k+2 =19,l(tfrac23r)^kk^3
Aplicando o teste da razão:
limktoinftybk+1bk =limktoinftytfrac2^k+1(k+1)^3,3^k+3tfrac2^kk^3,3^k+2 =limktoinfty23,l(kk+1r)^3 =23<1
Como o limite é menor que 1, a série de termos positivos convergente, logo a série original converge absolutamente.

Passo 3

Seja uma série que converge absolutamente, ela também converge (mas não de forma meramente condicional). Assim, a série dada não é apenas condicional — ela converge de modo absoluto.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Não converge apenas condicionalmente (converge de modo absoluto).

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