Detérnumar os valores próprios e os vetores próprios da matiz A=\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é Álgebra Linear: devemos montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v=0 para encontrar os autovetores v.]

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A - \lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}4-\lambda & 5 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}
\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(1-\lambda) - (5\cdot 2) = (4-\lambda)(1-\lambda) - 10.
Expandindo,
(4-\lambda)(1-\lambda) = 4 -5\lambda + \lambda^2,
logo
\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 10 = \lambda^2 - 5\lambda - 6.]

Passo 3

Resolvemos o polinômio característico
\lambda^2 - 5\lambda - 6 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-6)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6, \quad \lambda_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 6, resolvemos (A - 6I)v=0:
A - 6I = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix},
logo o sistema é
-2x + 5y = 0, \quad 2x - 5y = 0.
Da primeira equação temos x = \tfrac{5}{2}y. Escolhendo y = 2, obtemos x = 5. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}5 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -1, resolvemos (A + I)v=0:
A + I = \begin{pmatrix}5 & 5 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix},
o sistema é
5x + 5y = 0, \quad 2x + 2y = 0.
Da primeira equação segue x = -y. Escolhendo y = 1, temos x = -1. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1 = 6 e \lambda_2 = -1.
Os autovetores associados podem ser
v_1 = \begin{pmatrix}5 \\[4pt] 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_2 = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

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