(1) (2 ptos) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
V=\left\{(2 a-d, b-c, c-b,-2 a+d) \in \mathbb{R}^{4} \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\},

Passo 1

O enunciado define
V=\{(2a-d,\;b-c,\;c-b,\;-2a+d)\in\mathbb R^4\mid a,b,c,d\in\mathbb R\},
que é um subespaço de \mathbb R^4. O objetivo é determinar uma base de V e sua dimensão. Vamos usar a parametrização dada pelos escalares a,b,c,d e descobrir quantos graus de liberdade efetivos existem.

Passo 2

Denotando um vetor genérico de V por (x_1,x_2,x_3,x_4), temos
x_1=2a-d,\quad x_2=b-c,\quad x_3=c-b,\quad x_4=-2a+d.
Observe que x_3=c-b=-\bigl(b-c\bigr)=-x_2 e x_4=-2a+d=-(2a-d)=-x_1. Portanto todo vetor de V satisfaz
x_3=-x_2 \quad\text{e}\quad x_4=-x_1.

Passo 3

Podemos então usar x_1 e x_2 como parâmetros livres. Qualquer vetor em V escreve-se como
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_2,-x_2,-x_1) =x_1\,(1,0,0,-1)+x_2\,(0,1,-1,0).
Isso mostra que V=\Span\{(1,0,0,-1),\,(0,1,-1,0)\}.

Passo 4

Da expressão acima percebemos que temos exatamente dois vetores independentes que geram V. Logo a dimensão de V é 2, e uma possível base é
\{(1,0,0,-1),\;(0,1,-1,0)\}.

Resposta

Uma base de V é
\{(1,0,0,-1),\;(0,1,-1,0)\},
e \dim(V)=2.

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