(1) (2 ptos) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
,
Passo 1
O enunciado define
que é um subespaço de
. O objetivo é determinar uma base de
e sua dimensão. Vamos usar a parametrização dada pelos escalares
e descobrir quantos graus de liberdade efetivos existem.
Passo 2
Denotando um vetor genérico de
por
, temos
Observe que
e
. Portanto todo vetor de
satisfaz
Passo 3
Podemos então usar
e
como parâmetros livres. Qualquer vetor em
escreve-se como
Isso mostra que
.
Passo 4
Da expressão acima percebemos que temos exatamente dois vetores independentes que geram
. Logo a dimensão de
é
, e uma possível base é
Resposta
Uma base de
é
e
.