(1) (2 ptos) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
V=\left\{\left.\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right] \in M(2,3) \right\rvert\, a-f=c, d=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
V=\Bigl\{\,[a\;b\;c;\;d\;e\;f]\in M(2,3)\mid a - f = c,\\ d=0\Bigr\}.
Aqui o conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: vamos usar as condições lineares para parametrizar um elemento de V.

Passo 2

Cada matriz em V tem forma
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f \end{pmatrix}
com as restrições d=0 e c=a-f. Logo todo elemento de V pode ser escrito
\begin{pmatrix} a & b & a - f\\\\ 0 & e & f \end{pmatrix},
onde a,b,e,f\in\mathbb{R} são livres. Há, portanto, 4 parâmetros livres.

Passo 3

Chamando t_{1}=a,\\ t_{2}=b,\\ t_{3}=e,\\ t_{4}=f, temos
\begin{pmatrix} a & b & a - f\\\\ 0 & e & f \end{pmatrix} =t_{1} \begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix} +t_{2} \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} +t_{3} \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix} +t_{4} \begin{pmatrix}0&0&-1\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
Isto mostra que as quatro matrizes acima geram V.

Passo 4

Para ver que elas são linearmente independentes, note que
t_{1} \begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix} +\cdots +t_{4} \begin{pmatrix}0&0&-1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} =0
implica imediatamente t_{1}=t_{2}=t_{3}=t_{4}=0. Portanto é uma base.

Passo 5

O conjunto tem 4 elementos, logo \dim(V)=4.

Resposta

Uma base de V é
\left\{ \begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0&-1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \right\},
e \dim(V)=4.

Exercícios relacionados