Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina (de lado x ) e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine a função que representa o volume V desta caixa em função do valor x.

Passo 1

O enunciado dá uma folha retangular de 40,cm por 52,cm, de onde se retiram quatro quadrados congruentes de lado x (um em cada canto) e depois se dobra para cima cada aba, formando uma caixa sem tampa de altura x. O conteúdo aqui é geometria elementar de volumes de paralelepípedos.

Passo 2

Depois de cortados os quadrados e dobradas as abas, a altura da caixa é
x,
a largura da base é
40 - 2x
e o comprimento da base é
52 - 2x
Para que a caixa exista, é preciso 40 - 2x>=0 e 52 - 2x>=0, isto é,
0 <= x <= 20

Passo 3

O volume de uma caixa sem tampa (paralelepípedo reto) é dado por altura times largura times comprimento. Logo:
V(x) ;=; x,(40 - 2x),(52 - 2x)

Passo 4

Multiplicando e agrupando termos, obtemos o polinômio
(40 - 2x)(52 - 2x) = 2080 - 184x + 4x^2
e portanto
V(x) = x,(2080 - 184x + 4x^2) = 4x^3 - 184x^2 + 2080x

Resposta

V(x) = 4x^3 - 184x^2 + 2080x, 0 <= x <= 20

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