Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 pi cm^3. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos 0 cm^2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm^2. Determine a função que determina o custo do material para a construção deste recipiente em função do raio do recipiente.

Passo 1

Então, a gente tem um recipiente em forma de cilindro que é aberto por cima e precisa guardar um volume de 375pi , cm^3. A matéria que forma a base custa 15 centavos por cm^2 e a parte lateral (a parte curva) custa 5 centavos por cm^2. A gente vai precisar usar conhecimentos de geometria dos cilindros e um pouquinho de álgebra para montar uma função que calcule o custo total baseado no raio do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio da base,
  • h é a altura.
Como o volume é 375pi , cm^3, podemos montar a equação:
375pi = pi r^2 h
Aí, a gente pode simplificar dividindo ambos os lados por pi:
375 = r^2 h
Agora, vamos isolar a altura h:
h = 375r^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas que precisam ser consideradas para o custo: a área da base e a área da parte lateral.
A área da base de um cilindro é:
Abase = pi r^2
A área da parte lateral (a parte curva) é calculada por:
Alateral = 2pi r h
Substituindo h pela expressão que encontramos:
Alateral = 2pi r (375r^2) = 750pir

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo de cada parte.
O custo da base é de 15 centavos por cm^2:
Custo da base = 15 times Abase = 15 times pi r^2
O custo da parte lateral é de 5 centavos por cm^2:
Custo da parte lateral = 5 times Alateral = 5 times 750pir = 3750pir

Passo 5

Finalmente, vamos somar os custos da base e da parte lateral para obter a função de custo total C(r):
C(r) = 15pi r^2 + 3750pir

Resposta

A função que determina o custo do material em função do raio r é:
C(r) = 15pi r^2 + 3750pir

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