Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de
. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos
e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por
. Determine a função que determina o custo do material para a construção deste recipiente em função do raio do recipiente.
Passo 1
Então, a gente tem um recipiente em forma de cilindro que é aberto por cima e precisa guardar um volume de
. A matéria que forma a base custa 15 centavos por
e a parte lateral (a parte curva) custa 5 centavos por
. A gente vai precisar usar conhecimentos de geometria dos cilindros e um pouquinho de álgebra para montar uma função que calcule o custo total baseado no raio do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Como o volume é
, podemos montar a equação:
Aí, a gente pode simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos isolar a altura
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas que precisam ser consideradas para o custo: a área da base e a área da parte lateral.
A área da base de um cilindro é:
A área da parte lateral (a parte curva) é calculada por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo de cada parte.
O custo da base é de 15 centavos por
:
O custo da parte lateral é de 5 centavos por
:
Passo 5
Finalmente, vamos somar os custos da base e da parte lateral para obter a função de custo total
:
Resposta
A função que determina o custo do material em função do raio
é: