Mostre que a função y=phi(x) indicada é solução da equação diferencial correspondente. Forneça o maior intevalo de definição I da função.
y^prime=2 x y^2 ; y=1 /(4-x^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2,x,y^2
e propõe a função
phi(x)=14 - x^2
Queremos verificar por substituição direta que phi satisfaz a EDO e, em seguida, determinar o maior domínio I em que phi está bem definida e, portanto, é solução.

Passo 2

Calculemos a derivada de phi(x). Escrevendo
phi(x) = (4 - x^2)^-1,
temos, pelo regra da cadeia,
phi'(x) = -1,(4 - x^2)^-2,ddx(4 - x^2) = -1,(4 - x^2)^-2,(-2x) = 2x(4 - x^2)^2

Passo 3

Agora comparemos com o lado direito da EDO, que é
2,x,l[phi(x)r]^2 =2,x,1(4 - x^2)^2 =2x(4 - x^2)^2
Como
phi'(x)=2x(4 - x^2)^2 e 2,x,phi(x)^2=2x(4 - x^2)^2,
segue-se que phi'(x)=2x,phi(x)^2, isto é, phi satisfaz a EDO em todo ponto onde está definida.

Passo 4

A expressão phi(x)=1/(4 - x^2) só faz sentido quando 4 - x^2neq0, isto é, xneq pm2. Portanto o domínio natural de phi é
Rsetminus-2,2,
ou, escrito como união de intervalos abertos,
(-infty,-2);cup;(-2,2);cup;(2,infty)

Resposta

O maior domínio de definição da solução é
I=Rsetminus-2,2 l(ou (-infty,-2)cup(-2,2)cup(2,infty)r)

Exercícios relacionados