Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica, que custa R 11,00 por \mathrm{m}^{2}$. Determine a função que expresse:
O custo de construção do tanque em função do raio, sabendo que o tanque deve ter capacidade de Determine a função que expresse: O custo de construção do tanque em função do raio, sabendo que o tanque deve ter capacidade de .

Passo 1

O enunciado pede o custo de um tanque formado por um cilindro de raio r e altura h com dois hemisférios nas extremidades. Vamos usar a condição de volume para eliminar h e depois calcular as áreas (cilíndrica e dos hemisférios) para obter o custo em função de r.

Passo 2

O volume total é a soma do cilindro com a esfera completa (duas hemisférios):
V = pi r^2 h + 2cdot23pi r^3 = pi r^2 h + 43pi r^3
Como V=100pi, temos
pi r^2 h + 43pi r^3 = 100pi Longrightarrow r^2h + 43r^3 = 100 Longrightarrow h = 100r^2 - 43,r

Passo 3

As áreas são:
área lateral do cilindro
Acil = 2pi r h,
e área dos dois hemisférios (que formam uma esfera completa)
Ahem = 4pi r^2

Passo 4

O custo da parte cilíndrica é R$11,00 por metro quadrado, logo
Ccil = 11cdot Acil = 22pi r h
O custo dos hemisférios é o dobro, isto é R$22,00 por metro quadrado, então
Chem = 22cdot Ahem = 88pi r^2
Assim o custo total é
C(r,h) = 22pi r h + 88pi r^2

Passo 5

Substituindo h = 100r^2 - 43r em C(r,h), obtemos
C(r) =22pi rl(100r^2-43rr)+88pi r^2 =22pil(100r-43r^2r)+88pi r^2 =2200pir-883pi r^2+88pi r^2 =2200pir+1763pi r^2

Resposta

C(r)=2200pir+1763,pi r^2

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