Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades.
custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica, que custa
11,00
\mathrm{m}^{2}$. Determine a função que expresse:
O custo de construção do tanque em função do raio, sabendo que o tanque deve ter capacidade de
.
O custo de construção do tanque em função do raio, sabendo que o tanque deve ter capacidade de
Passo 1
O enunciado pede o custo de um tanque formado por um cilindro de raio
e altura
com dois hemisférios nas extremidades. Vamos usar a condição de volume para eliminar
e depois calcular as áreas (cilíndrica e dos hemisférios) para obter o custo em função de
.
Passo 2
O volume total é a soma do cilindro com a esfera completa (duas hemisférios):
Como
, temos
Passo 3
As áreas são:
área lateral do cilindro
área lateral do cilindro
e área dos dois hemisférios (que formam uma esfera completa)
Passo 4
O custo da parte cilíndrica é
por metro quadrado, logo
O custo dos hemisférios é o dobro, isto é
por metro quadrado, então
Assim o custo total é
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos