Deve-se construir uma usina de incineração de lixo para atender a duas cidades. Cada cidade gostaria de maximizar sua distância à usina, mas, por motivos econômicos, a soma das distâncias de cada cidade à usina não pode exceder M quilômetros. Mostre que a curva de nível para a localização da usina são elipses. Sendo d a distância em linha reta entre as duas cidades, qual a localização do ponto ótimo para a construção da usina?

Passo 1

Resumindo, temos duas cidades em pontos fixos A e B separados por uma distância d. Queremos posicionar a usina num ponto P de modo que cada cidade fique o mais longe possível de P, mas respeitando a restrição econômica
PA + PB ;<=; M
Aqui o conteúdo é geometria analítica: curvas de nível de soma de distâncias constantes e otimização de uma função de dois argumentos sujeita a essa restrição.

Passo 2

Mostramos que a curva de nível
PA + PB = constante
é uma elipse com focos em A e B. De fato, por definição uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Então, para cada valor fixo s<= M, a curva PA + PB = s é exatamente a elipse de semieixo maior a = s/2 e distância focal c = d/2.

Passo 3

Como cada cidade quer maximizar sua distância a P, e a soma PA + PB não pode ultrapassar M, o ponto ótimo estará na fronteira da região viável, ou seja em
PA + PB = M
No entanto temos dois objetivos (maximizar PA e maximizar PB), e uma escolha “justa” é maximizar o menor dos dois (problema max–min). Por simetria, a solução ocorre quando
PA = PB

Passo 4

Impondo
PA = PB e PA + PB = M,
segue
PA = PB = M2
Logo o ponto ótimo P é equidistante de A e B e está na elipse de soma de distâncias M.

Passo 5

Geometricamente, os pontos equidistantes de A e B formam a mediatriz do segmento AB. A interseção dessa mediatriz com a elipse PA + PB = M dá dois pontos simétricos. Se colocarmos
A = l(-tfracd2,0r), B = l(tfracd2,0r)
então o ponto P ótimo tem coordenadas
P = l(0,;pm,raizl(tfracM2r)^2 - l(tfracd2r)^2;r)

Resposta

O(s) ponto(s) ótimo(s) está(ão) na mediatriz de AB, a uma distância de cada cidade igual a tfracM2. Em coordenadas em que
A=(-tfracd2,0) e B=(tfracd2,0),
temos
P=l(0,pmraizl(tfracM2r)^2-l(tfracd2r)^2r)

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