Deve-se construir uma usina de incineração de lixo para atender a duas cidades. Cada cidade gostaria de maximizar sua distância à usina, mas, por motivos econômicos, a soma das distâncias de cada cidade à usina não pode exceder
quilômetros. Mostre que a curva de nível para a localização da usina são elipses. Sendo
a distância em linha reta entre as duas cidades, qual a localização do ponto ótimo para a construção da usina?
Passo 1
Resumindo, temos duas cidades em pontos fixos
e
separados por uma distância
. Queremos posicionar a usina num ponto
de modo que cada cidade fique o mais longe possível de
, mas respeitando a restrição econômica
Aqui o conteúdo é geometria analítica: curvas de nível de soma de distâncias constantes e otimização de uma função de dois argumentos sujeita a essa restrição.
Passo 2
Mostramos que a curva de nível
é uma elipse com focos em
e
. De fato, por definição uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Então, para cada valor fixo
, a curva
é exatamente a elipse de semieixo maior
e distância focal
.
Passo 3
Como cada cidade quer maximizar sua distância a
, e a soma
não pode ultrapassar
, o ponto ótimo estará na fronteira da região viável, ou seja em
No entanto temos dois objetivos (maximizar
e maximizar
), e uma escolha “justa” é maximizar o menor dos dois (problema max–min). Por simetria, a solução ocorre quando
Passo 4
Impondo
segue
Logo o ponto ótimo
é equidistante de
e
e está na elipse de soma de distâncias
.
Passo 5
Geometricamente, os pontos equidistantes de
e
formam a mediatriz do segmento
. A interseção dessa mediatriz com a elipse
dá dois pontos simétricos. Se colocarmos
então o ponto
ótimo tem coordenadas
Resposta
O(s) ponto(s) ótimo(s) está(ão) na mediatriz de
, a uma distância de cada cidade igual a
. Em coordenadas em que
e
,
temos
temos