Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
d yd x=x tg^-1 xy, y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
dydx=x,arctan xy,
com condição inicial y(0)=3.
Conteúdo: EDO de variáveis separáveis e integração por partes.

Passo 2

Separemos variáveis e integramos ambos os lados:
y,dy = x,arctan x,dx Longrightarrow integral y,dy = integral x,arctan x,dx
No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22

Passo 3

Para calcular integral x,arctan x,dx usamos integração por partes, com
u = arctan x, dv = x,dx ;Longrightarrow; du = dx1+x^2, v = x^22
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integral x,arctan x,dx = x^22,arctan x - integral x^22,dx1+x^2 = x^22,arctan x - 12integral!x^21+x^2,dx
Mas x^21+x^2=1-11+x^2, então
integral!x^21+x^2,dx =integral!1,dx - integral!dx1+x^2 = x - arctan x
Combinando,
integral x,arctan x,dx = x^22,arctan x - 12(x - arctan x) = (x^2+1),arctan x - x2 + C

Passo 4

Igualando as integrais e multiplicando por 2, obtemos a solução geral:
y^2 = (x^2+1),arctan x - x + K
Usando y(0)=3, temos arctan(0)=0 e
3^2 = 0 - 0 + K Longrightarrow K=9

Passo 5

Portanto a solução particular é
y^2 = (x^2+1),arctan x - x + 9,
e, como y(0)=3>0, tomamos a raiz positiva:
y(x) = raiz(x^2+1),arctan x - x + 9

Resposta

y(x) = raiz(x^2+1),arctan x - x + 9

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