Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
x ln x=y(1+raiz3+y^2) y^prime ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x ln x = yl(1+raiz3+y^2r),y'
com condição inicial y(1)=1. Trata-se de uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis:
yl(1+raiz3+y^2r),dy = xln x,dx
Agora integramos o lado em y. Note que
integral yl(1+raiz3+y^2r),dy = integral y,dy + integral yraiz3+y^2,dy
Para a primeira parte,
integral y,dy = tfracy^22
Para a segunda, faça t=3+y^2, dt=2y,dy, então
integral yraiz3+y^2,dy = tfrac12integral t^1/2,dt = tfrac13,t^3/2 = tfrac(3+y^2)^3/23
Logo o integral no lado de y é
y^22 + (3+y^2)^3/23

Passo 3

Integramos agora o lado em x:
integral xln x,dx
Use integração por partes com u=ln x, dv=x,dx, de modo que
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - 12integral x,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 4

Igualando as duas integrais e usando y(1)=1:
y^22 + (3+y^2)^3/23 = x^22ln x - x^24 + C
Em x=1, y=1 o lado esquerdo vale tfrac12 + tfrac83 = tfrac196 e o direito -tfrac14 + C, logo
C = 196 + 14 = 4112

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=1 é
y^22 + (3+y^2)^3/23 = x^22ln x - x^24 + 4112

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