Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
x^3+32x^3-x^2-8 x+12 >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^3+32x^3-x^2-8x+12 >= 1
O conteúdo aqui é manipular inequações envolvendo frações: vamos reduzir tudo a uma única fração, fatorar numerador e denominador e montar o quadro de sinais para achar onde ela é não negativa.

Passo 2

Subtraímos 1 de ambos os lados para ter uma única fração comparada a zero:
x^3+32x^3-x^2-8x+12 - 1 >= 0 Longrightarrow x^3+32 - l(x^3-x^2-8x+12r)x^3-x^2-8x+12>=0
No numerador fica
x^3+32 - x^3 + x^2 +8x -12 = x^2+8x+20

Passo 3

Analisamos o numerador x^2+8x+20. A fórmula do discriminante é
De<a = 8^2 - 4cdot1cdot20 = 64 - 80 = -16 <0,
logo x^2+8x+20>0 para todo x.

Passo 4

Agora fatoramos o denominador x^3-x^2-8x+12. Testando raiz x=2 vemos que zera, e a divisão sintética dá
x^3-x^2-8x+12 = (x-2),(x^2+x-6) = (x-2)^2(x+3)
Os zeros do denominador são x=2 (raiz dupla) e x=-3. Esses valores são excluídos do domínio.

Passo 5

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração
x^2+8x+20(x-2)^2(x+3)
depende só de (x-2)^2(x+3). Note que (x-2)^2>=0 e só zera em x=2, mas uma raiz dupla não muda o sinal, apenas zera ali. Portanto o sinal do denominador é o mesmo de (x+3), salvo x=2 onde é zero e excluído.

Passo 6

Queremos que a fração seja >=0. Como o numerador é >0, precisamos de
(x-2)^2(x+3) > 0
Isto vale sempre que x+3>0 e xneq2. Ou seja
x>-3, xneq2

Resposta

A solução da inequação é
(-3,2)cup(2,infty)

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