Qual deve ser a largura de um canal retangular construído afim de transportar 14 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a uma profundidade de 1,8 \mathrm{~m} em um declive de 0,0004 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. Calcular também a tensão média de cisalhamento. Usar \mathrm{n}=0,010 e \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0 , 1 2 k g f} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}}. \mathbf{R} : \mathbf{b}=\mathbf{4} \mathbf{~ m ; ~} \boldsymbol{\tau}=\mathbf{3 , 7 2 ~ N} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a largura b de um canal retangular que escoa Q=14\\ \mathrm{m^3/s} a uma profundidade y=1{,}8\\ \mathrm{m} em um declive S=0{,}0004, usando o coeficiente de Manning n=0{,}010. Em seguida, calcula-se a tensão média de cisalhamento \tau no fundo do canal. Vamos usar a fórmula de Manning e depois
\tau = \gamma\,R\,S
com \gamma=9810\\ \mathrm{N/m^3} e o raio hidráulico R.

Passo 2

Escrevendo as grandezas geométricas do canal retangular de largura b e altura y:
  • Área molhada:
A = b\,y
  • Perímetro molhado:
P = b + 2\,y
  • Raio hidráulico:
R = \frac{A}{P} = \frac{b\,y}{\,b + 2\,y\,}
A vazão pela fórmula de Manning é
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo A=b\,y, R=\frac{b\,y}{b+2y}, y=1{,}8, n=0{,}01 e \sqrt{S}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02, obtemos
14 = \frac{1}{0{,}01}\,(b\cdot1{,}8)\,\biggl(\frac{1{,}8\,b}{b+3{,}6}\biggr)^{2/3}\cdot0{,}02.

Passo 3

Simplificando a equação:
14 = 100\cdot1{,}8\,b\cdot0{,}02\;\Bigl(\frac{1{,}8\,b}{b+3{,}6}\Bigr)^{2/3} =3{,}6\,b\;\Bigl(\frac{1{,}8\,b}{b+3{,}6}\Bigr)^{2/3}.
Fazendo tentativa numérica ou solução iterativa, chega-se a
b \approx 4{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Com b=4{,}0\\ \mathrm{m} e y=1{,}8\\ \mathrm{m}, o raio hidráulico vale
R = \frac{b\,y}{b+2\,y} = \frac{4\cdot1{,}8}{4+3{,}6} = \frac{7{,}2}{7{,}6} \approx0{,}947\\ \mathrm{m}.
Logo, a tensão média de cisalhamento no fundo é
\tau = \gamma\,R\,S = 9810 \times0{,}947\times0{,}0004 \approx3{,}72\\ \mathrm{N/m^2}.

Resposta

A largura do canal deve ser b=4{,}0\\ \mathrm{m} e a tensão média de cisalhamento vale \tau=3{,}72\\ \mathrm{N/m^2}.

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