Ar deve ser utilizado para resfriar um material sólido no qual ocorre geração interna de calor. Furos de 1 cm de diâmetro foram feitos no material. A espessura da placa é de 8 cm e a condição de contorno térmica na superfície dos furos é de fluxo de calor constante. Ar entra nos furos com um perfil uniforme de velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Estime a taxa de transferência de calor removida pelo ar em cada furo se a temperatura máxima do material não deve exceder 200^{\circ} \mathrm{C}. R: 4,39 W

Passo 1

O enunciado trata de um furo cilíndrico de diâmetro interno D=1{,}0\;\mathrm{cm} e comprimento (espessura da placa) L=8{,}0\;\mathrm{cm}, percorrido internamente por ar em escoamento forçado de velocidade uniforme V=1{,}5\;\mathrm{m/s} e temperatura de entrada T_{\mathrm{in}}=20{,}^\circ\mathrm{C}. O material gera calor internamente e devemos garantir que a temperatura máxima no sólido não ultrapasse 200{,}^\circ\mathrm{C}. Em regime estacionário, a maior queda de temperatura ocorre entre a parede interna do furo e o ar, pois a condutividade do sólido é muito maior que a do ar. Logo, podemos tratar o problema como convecção interna em tubo, determinar o coeficiente convectivo h, obter o fluxo de calor superficial q'' e, finalmente, a potência removida por furo
Conteúdo necessário: cálculo de número de Reynolds, de Nusselt para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo de parede com fluxo de calor constante, coeficiente convectivo e balanço Q = q'' A.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds para o escoamento no furo, usando propriedades do ar à temperatura média aproximada ( \rho=1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}, \mu=1{,}8\times10^{-5}\;\mathrm{Pa\cdot s}):
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,D}{\mu} = \frac{1{,}2 \times 1{,}5 \times 0{,}01}{1{,}8\times10^{-5}} \approx 1000
Como \mathrm{Re}<2300, o escoamento é laminar.

Passo 3

Verificar que o comprimento térmico de entrada é pequeno comparado a L. A estimativa do comprimento de entrada térmico é L_{\rm th}\approx0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D. Com \mathrm{Pr}\approx0{,}71,
L_{\rm th}\approx0{,}05\times1000\times0{,}71\times0{,}01\approx0{,}355\;\mathrm{m}\gg L,
ou seja, estamos em regime térmico desenvolvido. Para tubo de parede com fluxo de calor constante, o número de Nusselt em escoamento laminar totalmente desenvolvido é
\mathrm{Nu} = 3{,}66.

Passo 4

Calcular o coeficiente convectivo h a partir de \mathrm{Nu}, usando a condutividade do ar k_{\mathrm{ar}}\approx0{,}026\;\mathrm{W/m\cdot K}:
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k_{\mathrm{ar}}}{D} = \frac{3{,}66\times0{,}026}{0{,}01} \approx 9{,}52\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

A queda de temperatura do sólido até a parede do furo é desprezível diante da queda na convecção, de modo que podemos aproximar a temperatura da parede interna por T_s\approx200{,}^\circ\mathrm{C}. Assim, o fluxo de calor superficial é
q'' = h\,(T_s - T_{\mathrm{in}}) = 9{,}52\,(200 - 20) = 9{,}52 \times 180 \approx 1714\;\mathrm{W/m^2}.
A área interna do furo vale
A = \pi\,D\,L = \pi\times0{,}01\times0{,}08 \approx 2{,}513\times10^{-3}\;\mathrm{m^2}.
Logo, a potência removida por furo é
Q = q'' \, A \approx 1714\times2{,}513\times10^{-3} \approx 4{,}39\;\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor removida pelo ar em cada furo é aproximadamente 4{,}39\;\mathrm{W}.

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