Ar quente escoa através de um duto liso com seção transversal quadrada de 5 cm . O ar entra no duto com temperatura de mistura de 70^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O duto possui 20 m de comprimento e pode-se considerar que as suas paredes permanecem com temperatura constante de 5^{\circ} \mathrm{C}. Decidiu-se que se a temperatura do ar que deixa o duto for menor do que 50^{\circ} \mathrm{C}, o mesmo deve ser isolado. Você recomenda que o duto seja isolado? Por quê? R: Sim

Passo 1

O enunciado trata de convecção forçada interna de ar em um duto liso de seção quadrada (lado de 5,cm), com comprimento L=20,m, temperatura de entrada T_{\text{in}}=70^\circ\text{C} e velocidade média u=80,m/s. As paredes ficam a T_{w}=5^\circ\text{C}. Decidimos se o ar na saída T_{\text{out}} for abaixo de 50^\circ\text{C}, o duto deve ser isolado. Para resolver usaremos balanço de energia diferencial e correlação de Dittus–Boelter para obter o coeficiente global de transferência de calor h.

Passo 2

Determinar as características geométricas do duto:
A face do quadrado é a=0{,}05,m, logo
A = a^2 = (0{,}05)^2 = 2{,}5\times10^{-3}\,\text{m}^2
P = 4\,a = 4\times0{,}05 = 0{,}20\,\text{m}
O diâmetro hidráulico é
D_h = \frac{4A}{P} = a = 0{,}05\,\text{m}.

Passo 3

Estimativa das propriedades do ar à temperatura de filme
T_f = \frac{T_{\text{in}}+T_w}{2} = \frac{343+278}{2} = 310{,}5\;\text{K}.
Usamos valores típicos em T_f: \nu\approx1{,}7\times10^{-5}, m^{2}/s, k\approx0{,}026,W/ m\cdot K, \Pr\approx0{,}71, \rho\approx1{,}14,kg/ m^{3}, c_p\approx1006,J/k g\cdot K.
Calcular o número de Reynolds
\Re = \frac{u\,D_h}{\nu} = \frac{80\times0{,}05}{1{,}7\times10^{-5}} \approx2{,}35\times10^{5},
regime turbulento. Aplicamos então Dittus–Boelter (resfriamento do fluido \Rightarrow n=0{,}3):
\Nu = 0{,}023\,\Re^{0,8}\,\Pr^{0,3} \approx0{,}023\,(2{,}35\times10^5)^{0,8}\,(0{,}71)^{0,3} \approx4{,}12\times10^2.
O coeficiente convectivo é
h = \frac{\Nu\,k}{D_h} = \frac{412\times0{,}026}{0{,}05} \approx215\;\text{W/m}^2\text{\cdotK}.

Passo 4

Fluxo de massa de ar
\dot m = \rho\,A\,u = 1{,}14\times2{,}5\times10^{-3}\times80 \approx0{,}228\;\text{kg/s}.
A razão entre condutância térmica superficial e capacidade calorífica é
\frac{h\,P}{\dot m\,c_p} = \frac{215\times0{,}20}{0{,}228\times1006} \approx0{,}187\;\text{m}^{-1}.

Passo 5

Balanço energético diferencial em regime permanente
\frac{dT_b}{dx} = -\frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,\bigl(T_b - T_w\bigr),
cuja solução é
T_b(x) = T_w + \bigl(T_{\text{in}} - T_w\bigr)\, \exp\Bigl(-\tfrac{hP}{\dot m\,c_p}\,x\Bigr).
Em x=L:
T_{\text{out}} = 5 + (70-5)\,\exp\bigl(-0{,}187\times20\bigr) \approx5 +65\times e^{-3{,}74} \approx6{,}5^\circ\text{C}.

Passo 6

A temperatura de saída T_{\text{out}}\approx6{,}5^\circ\text{C} é muito inferior a 50^\circ\text{C}. Portanto, sem isolamento o ar esfria demais, inviabilizando a operação.

Resposta

Recomendo que o duto seja isolado, pois a temperatura na saída sem isolamento \approx6{,}5^\circ\text{C} fica bem abaixo de 50^\circ\text{C}.

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