Deve-se testar um novo produto, fornecendo-o grátis a 500 pessoas em uma cidade com 25000 habitantes (população que se assume permanecer constante durante o período do teste). Admite-se também que a taxa de adoção do produto seja proporcional ao números de pessoas que possuem o produto com o número de pessoas que não possuem o produto. Estime em função do tempo o número de pessoas que adotarão o produto, sabendo-se que 2000 o pessoas adotaram após 3 semanas.
Passo 1
O enunciado pede estimar o número de adotantes
ao longo do tempo numa população constante de tamanho
, sabendo que
e que
. Como a taxa de adoção é proporcional ao produto do número de quem já adotou pelo número de quem ainda não adotou, usamos o modelo logístico
Passo 2
Para resolver, separamos variáveis e integramos; isso leva à forma geral
onde
é uma constante de integração a determinar.
Passo 3
Usamos
para achar
. Em
temos
Passo 4
Agora aplicamos
para determinar
. Substituindo
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a estimativa em função do tempo