Deve-se testar um novo produto, fornecendo-o grátis a 500 pessoas em uma cidade com 25000 habitantes (população que se assume permanecer constante durante o período do teste). Admite-se também que a taxa de adoção do produto seja proporcional ao números de pessoas que possuem o produto com o número de pessoas que não possuem o produto. Estime em função do tempo o número de pessoas que adotarão o produto, sabendo-se que 2000 o pessoas adotaram após 3 semanas.

Passo 1

O enunciado pede estimar o número de adotantes X(t) ao longo do tempo numa população constante de tamanho M=25000, sabendo que X(0)=500 e que X(3)=2000. Como a taxa de adoção é proporcional ao produto do número de quem já adotou pelo número de quem ainda não adotou, usamos o modelo logístico
dXdt = k,X,(M - X)

Passo 2

Para resolver, separamos variáveis e integramos; isso leva à forma geral
X(t) = M1 + A,e^-k M t,
onde A é uma constante de integração a determinar.

Passo 3

Usamos X(0)=500 para achar A. Em t=0 temos
X(0)=M1+A=500 Longrightarrow 1+A=M500 Longrightarrow A=25000-500500=49

Passo 4

Agora aplicamos X(3)=2000 para determinar k. Substituindo t=3 e A=49:
2000=250001+49,e^-kcdot25000cdot3 Longrightarrow 1+49,e^-75000k=12,5 Longrightarrow 49,e^-75000k=11,5
e^-75000k=tfrac11,549 Longrightarrow -75000k=ln!l(tfrac11,549r) Longrightarrow k=-175000ln!l(tfrac11,549r)approx1,93times10^-5

Passo 5

Substituindo A=49 e kapprox1,93times10^-5 na solução geral, obtemos a estimativa em função do tempo
X(t) =250001+49,e^-25000,k,t =250001+49,e^-0,4825,t

Resposta

X(t)=250001+49,e^-0,4825,t

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