Um reservatório cilíndrico, de base circular de raio igual a 2 m e de 4 m de altura, está com água a 75 % de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 15 minutos, a água no reservatório cai para 50 % de sua capacidade, determine:
A altura h da coluna de água no reservatório no instante de tempo t.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio 2 m e altura total 4 m, com água em 75% de sua capacidade, isto é, altura inicial
h(0)=0,75times4=3 m
Após 15 min, a altura cai para 50% da capacidade, ou seja,
h(15)=0,5times4=2 m
Para modelar a saída de água pelo furo usamos a lei de Torricelli, que dá uma equação diferencial para h(t).

Passo 2

Pela lei de Torricelli, a velocidade de saída é proporcional a raizh, e portanto o escoamento volumétrico satisfaz
dhdt=-k,raizh,
em que k>0 é uma constante que depende da aceleração da gravidade e da área do furo.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integral h^-1/2,dh=-kintegral dt Longrightarrow 2raizh=-k,t+C

Passo 4

Usando h(0)=3, obtemos
2raiz3=C Longrightarrow raizh=raiz3-k2,t

Passo 5

Impondo h(15)=2, isto é raizh(15)=raiz2, vem
raiz2=raiz3-k2cdot15 Longrightarrow k=2(raiz3-raiz2)15

Passo 6

Substituindo k em raizh=raiz3-(k/2)t resulta
raizh=raiz3-raiz3-raiz215,t Longrightarrow h(t)=gl(raiz3-raiz3-raiz215,tgr)^2

Resposta

h(t)=l(raiz3-tfracraiz3-raiz215,tr)^2 metros

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