Um reservatório cilíndrico, de base circular de raio igual a 2 m e de 4 m de altura, está com água a
de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 15 minutos, a água no reservatório cai para
de sua capacidade, determine:
A altura
da coluna de água no reservatório no instante de tempo
.
A altura
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro de raio
m e altura total
m, com água em
de sua capacidade, isto é, altura inicial
Após
min, a altura cai para
da capacidade, ou seja,
Para modelar a saída de água pelo furo usamos a lei de Torricelli, que dá uma equação diferencial para
.
Passo 2
Pela lei de Torricelli, a velocidade de saída é proporcional a
, e portanto o escoamento volumétrico satisfaz
em que
é uma constante que depende da aceleração da gravidade e da área do furo.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
Passo 4
Usando
, obtemos
Passo 5
Impondo
, isto é
, vem
Passo 6
Substituindo
em
resulta