Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 12 e a sua constante de mola é k=100. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,8 m abaixo da sua posição de equilíbrio. Determine o primeiro instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.

Passo 1

O enunciado pede o tempo em que uma mola massa-mola-amortecedor passa pela posição de equilíbrio indo para cima. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com amortecimento, e vamos precisar montar a EDO do sistema e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação do movimento usando massa unitária, coeficiente de amortecimento 12 e constante de mola 100:
x''(t) + 12,x'(t) + 100,x(t) = 0

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 12r + 100 = 0

Passo 4

Resolvendo-a temos raízes complexas
r = -12 pm raiz144 - 4002 = -6 pm 8,i

Passo 5

Como há amortecimento subcrítico, a solução geral é
x(t) = e^-6tl(Acos(8t) + Bsin(8t)r)

Passo 6

Impondo as condições iniciais: deslocamento inicial 0,8 m abaixo do equilíbrio (ou seja, x(0) = -0.8) e velocidade inicial nula ( x'(0)=0), obtemos
A = -0.8, -6A + 8B = 0 implies B = -0.6

Passo 7

Logo a solução fica
x(t) = e^-6tl(-0.8cos(8t) - 0.6sin(8t)r)

Passo 8

Para achar quando x(t)=0, resolvemos
-0.8cos(8t) - 0.6sin(8t) = 0 implies tan(8t) = -43

Passo 9

As soluções são
8t = arctanl(-tfrac43r) + npi

Passo 10

O primeiro instante positivo (com n=1) é
t = pi - arctan(4/3)8 approx 0.277,s

Passo 11

Precisamos confirmar que a velocidade é positiva nesse instante. A velocidade é
x'(t) = 10,e^-6tsin(8t)
Em tapprox0.277 temos sin(8t)>0, logo passa pelo equilíbrio indo para cima.

Resposta

0.277 s (aproximadamente)

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