Um reservatório cilíndrico, de base circular de raio igual a 2 m e de 4 m de altura, está com água a
de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 15 minutos, a água no reservatório cai para
de sua capacidade, determine:
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.
Dica: dizer que a água ocupa
da capacidade de um tanque cilíndrico equivale afirmar
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.
Dica: dizer que a água ocupa
Passo 1
O reservatório é um cilindro de raio
m e altura total
m, com seção transversal constante. Inicialmente a água ocupa
da capacidade, ou seja, altura inicial
e após 15 min a água cai para
da capacidade, ou seja,
Para calcular o tempo até esvaziar, vamos usar a lei de Torricelli, que diz que a vazão é proporcional à raiz da altura.
Passo 2
Como a área da seção do cilindro é constante,
. Pela lei de Torricelli temos
onde
é constante dependente da área do furo e da gravidade. Logo
com
.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
Em
,
, dá
logo a solução implícita é
Passo 4
Usando a condição
, obtemos
Passo 5
Para achar o tempo
em que
, colocamos na solução
Racionalizando o denominador,
Resposta
O tempo necessário para o reservatório ficar vazio é