Um reservatório cilíndrico, de base circular de raio igual a 2 m e de 4 m de altura, está com água a 75 % de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 15 minutos, a água no reservatório cai para 50 % de sua capacidade, determine:
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.
Dica: dizer que a água ocupa 75 % da capacidade de um tanque cilíndrico equivale afirmar

Passo 1

O reservatório é um cilindro de raio 2 m e altura total 4 m, com seção transversal constante. Inicialmente a água ocupa 75% da capacidade, ou seja, altura inicial
h(0)=0,75cdot 4=3 m,
e após 15 min a água cai para 50% da capacidade, ou seja,
h(15)=0,50cdot 4=2 m
Para calcular o tempo até esvaziar, vamos usar a lei de Torricelli, que diz que a vazão é proporcional à raiz da altura.

Passo 2

Como a área da seção do cilindro é constante, dVdt=Adhdt. Pela lei de Torricelli temos
dVdt=-kraizh,
onde k>0 é constante dependente da área do furo e da gravidade. Logo
Adhdt=-kraizh Longrightarrow dhdt=-c,raizh,
com c=tfrackA.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
dhraizh=-c,dt Longrightarrow 2raizh=-c,t+C
Em t=0, h(0)=3, dá
2raiz3=C,
logo a solução implícita é
2raizh=2raiz3-c,t

Passo 4

Usando a condição h(15)=2, obtemos
2raiz2=2raiz3-ccdot 15 Longrightarrow c=2raiz3-2raiz215 = 2(raiz3-raiz2)15

Passo 5

Para achar o tempo T em que h(T)=0, colocamos na solução
0=2raiz3-c,T Longrightarrow T=2raiz3c =2raiz3cdot152(raiz3-raiz2) =15raiz3raiz3-raiz2
Racionalizando o denominador,
T =;15raiz3,raiz3+raiz2(raiz3-raiz2)(raiz3+raiz2) =15raiz3(raiz3+raiz2) =15,(3+raiz6)

Resposta

O tempo necessário para o reservatório ficar vazio é
T =15,(3+raiz6) minutos approx 81,7 minutos

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