Um fóton de raios X , de comprimento de onda \lambda=9,77 \mathrm{pm}, é espalhado para trás por um elétron \left(\varphi=180^{\circ}\right). Determine (a) a variação no comprimento de onda do fóton, (b) a variação na energia do fóton e ( c ) a energia cinética final do elétron.

Passo 1

O enunciado nos dá um fóton de raios X de comprimento de onda inicial \lambda=9{,}77\,\mathrm{pm} espalhado em \varphi=180^\circ (para trás) por um elétron inicialmente em repouso. O conteúdo aqui é espalhamento Compton, que usa a fórmula
\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\bigl(1 - \cos\varphi\bigr),
e depois convertemos comprimentos de onda em energias pelo relacionamento \displaystyle E = \frac{hc}{\lambda}. A energia cinética do elétron será a diferença entre a energia perdida pelo fóton e a energia final do fóton.

Passo 2

Vamos calcular a variação de comprimento de onda \Delta \lambda. O comprimento de Compton é
\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2{,}426\,\mathrm{pm}.
Para \varphi=180^\circ temos \cos180^\circ=-1, logo
\Delta \lambda = \lambda_C\bigl(1 - (-1)\bigr) = 2\,\lambda_C = 2\times2{,}426\,\mathrm{pm} = 4{,}852\,\mathrm{pm}.

Passo 3

Agora obtemos as energias inicial e final do fóton:
E_i = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\;\times3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}}{9{,}77\times10^{-12}\,\mathrm{m}} \approx2{,}03\times10^{-14}\,\mathrm{J},
\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 9{,}77\,\mathrm{pm} + 4{,}852\,\mathrm{pm} = 14{,}622\,\mathrm{pm},
E_f = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8}{14{,}622\times10^{-12}} \approx1{,}36\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
A variação de energia do fóton é
\Delta E_\gamma = E_f - E_i \approx 1{,}36\times10^{-14} - 2{,}03\times10^{-14} = -6{,}7\times10^{-15}\,\mathrm{J}.

Passo 4

A energia cinética adquirida pelo elétron é a energia perdida pelo fóton em módulo:
K_e = E_i - E_f = 6{,}7\times10^{-15}\,\mathrm{J}.

Resposta

(a) \Delta \lambda = 4{,}852\,\mathrm{pm}.
(b) \Delta E_\gamma = -6{,}7\times10^{-15}\,\mathrm{J} (o fóton perde essa energia).
(c) K_e = 6{,}7\times10^{-15}\,\mathrm{J}.

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