Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem a função densidade fornecida
. D é a região no primeiro quadrante limitada pela parábola
e a reta
.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região específica no primeiro quadrante. A função densidade da lâmina é dada por
. A região
está limitada pela parábola
e pela reta
.
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo integral aplicado a funções de duas variáveis, especificamente integrando sobre a região
. Vamos calcular a massa total da lâmina e depois usar essa massa para encontrar as coordenadas do centro de massa
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa total
da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região
:
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. A região está no primeiro quadrante, limitada pela parábola
e pela reta
. Isso significa que
varia de
até
, e
varia de
até
(pois
atinge
quando
).
Então, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
Então, substituindo os limites:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa em relação a
:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Agora que temos a massa
, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa
. As fórmulas para
e
são:
Substituindo
:
Passo 9
Vamos calcular
primeiro:
Calculando a integral interna em relação a
:
Então:
Passo 10
Calculando as integrais:
Então:
Substituindo
:
Passo 11
Agora, vamos calcular
:
Calculando a integral interna em relação a
:
Então:
Passo 12
Calculando as integrais:
Então:
Substituindo
:
Resposta
A massa da lâmina é
, e o centro de massa está localizado nas coordenadas
.