Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem a função densidade fornecida rho(x, y)=x y. D é a região no primeiro quadrante limitada pela parábola y=x^2 e a reta y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região específica no primeiro quadrante. A função densidade da lâmina é dada por rho(x, y) = x cdot y. A região D está limitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo integral aplicado a funções de duas variáveis, especificamente integrando sobre a região D. Vamos calcular a massa total da lâmina e depois usar essa massa para encontrar as coordenadas do centro de massa (barx, bary).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa total M da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região D:
M = integral duplaD rho(x, y) , dA = integral duplaD x cdot y , dA

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D. A região está no primeiro quadrante, limitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = 1. Isso significa que y varia de x^2 até 1, e x varia de 0 até 1 (pois y = x^2 atinge y = 1 quando x = 1).
Então, podemos escrever a integral dupla como:
M = integralx=0^1 integraly=x^2^1 x cdot y , dy , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integraly=x^2^1 x cdot y , dy = x integraly=x^2^1 y , dy
A integral de y em relação a y é:
integral y , dy = 12 y^2
Então, substituindo os limites:
x [ 12(1)^2 - 12(x^2)^2 ] = x ( 12 - 12x^4 ) = x2 (1 - x^4)

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa em relação a x:
M = integral0^1 x2 (1 - x^4) , dx = 12 integral0^1 x (1 - x^4) , dx
Vamos expandir x (1 - x^4):
x - x^5
Então, a integral fica:
M = 12 ( integral0^1 x , dx - integral0^1 x^5 , dx )

Passo 6

Calculamos cada integral separadamente:
integral0^1 x , dx = [ 12 x^2 ]0^1 = 12 (1)^2 - 0 = 12
integral0^1 x^5 , dx = [ 16 x^6 ]0^1 = 16 (1)^6 - 0 = 16

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para M:
M = 12 ( 12 - 16 ) = 12 ( 36 - 16 ) = 12 cdot 26 = 12 cdot 13 = 16

Passo 8

Agora que temos a massa M = 16, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa (barx, bary). As fórmulas para barx e bary são:
barx = 1M integral duplaD x cdot rho(x, y) , dA
bary = 1M integral duplaD y cdot rho(x, y) , dA
Substituindo rho(x, y) = x y:
barx = 1M integral duplaD x^2 y , dA
bary = 1M integral duplaD x y^2 , dA

Passo 9

Vamos calcular barx primeiro:
barx = 1M integral0^1 integralx^2^1 x^2 y , dy , dx
Calculando a integral interna em relação a y:
integralx^2^1 x^2 y , dy = x^2 [ 12 y^2 ]x^2^1 = x^2 ( 12 - 12 x^4 ) = x^22 (1 - x^4)
Então:
barx = 1M cdot 12 integral0^1 x^2 (1 - x^4) , dx = 12M integral0^1 (x^2 - x^6) , dx

Passo 10

Calculando as integrais:
integral0^1 x^2 , dx = [ 13 x^3 ]0^1 = 13
integral0^1 x^6 , dx = [ 17 x^7 ]0^1 = 17
Então:
barx = 12M ( 13 - 17 ) = 12M cdot 421 = 442M = 221M
Substituindo M = 16:
barx = 221 cdot 16 = 2216 = 2 cdot 621 = 1221 = 47

Passo 11

Agora, vamos calcular bary:
bary = 1M integral0^1 integralx^2^1 x y^2 , dy , dx
Calculando a integral interna em relação a y:
integralx^2^1 x y^2 , dy = x [ 13 y^3 ]x^2^1 = x ( 13 - 13 x^6 ) = x3 (1 - x^6)
Então:
bary = 1M cdot 13 integral0^1 x (1 - x^6) , dx = 13M integral0^1 (x - x^7) , dx

Passo 12

Calculando as integrais:
integral0^1 x , dx = [ 12 x^2 ]0^1 = 12
integral0^1 x^7 , dx = [ 18 x^8 ]0^1 = 18
Então:
bary = 13M ( 12 - 18 ) = 13M cdot 38 = 324M = 18M
Substituindo M = 16:
bary = 18 cdot 16 = 186 = 68 = 34

Resposta

A massa da lâmina é M = 16, e o centro de massa está localizado nas coordenadas (barx, bary) = (47, 34).

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