Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Determine o valor médio da função f(x, y, z)=x+y+z sobre o tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para encontrar o valor médio da função f(x, y, z) = x + y + z sobre um tetraedro específico. Um tetraedro é uma figura geométrica de quatro faces triangulares, tipo uma pirâmide com base triangular. Os vértices desse tetraedro são os pontos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função sobre uma região tridimensional, o que envolve integrais múltiplas e o conceito de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função f(x, y, z) em uma região D é dado por:
Valor médio = 1V integral triplaD f(x, y, z) , dV é
Onde V é o volume da região D . Então, para encontrar o valor médio da função f(x, y, z) = x + y + z sobre o tetraedro dado, precisamos calcular essa integral tripla e dividir pelo volume do tetraedro.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o volume do tetraedro. Para um tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), o volume V pode ser calculado usando a fórmula:
V = 16
Esse valor vem da fórmula geral do volume de um tetraedro com essas coordenadas específicas.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular integral triplaD (x + y + z) , dV . Para isso, precisamos definir os limites de integração que descrevem o tetraedro.
Observando os vértices, vemos que x , y e z variam de 0 a 1, mas estão ligados pela condição x + y + z <= 1 . Então, os limites de integração são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1 - x
0 <= z <= 1 - x - y

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaD (x + y + z) , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y (x + y + z) , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^1 - x - y (x + y + z) , dz = [ (x + y)z + 12z^2 ]0^1 - x - y
Substituindo os limites:
(x + y)(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2

Passo 7

Simplificando a expressão:
(x + y)(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2 = (x + y)(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2
Fatorando (1 - x - y) :
(1 - x - y)[(x + y) + 12(1 - x - y)] = (1 - x - y)(32(x + y) + 12)

Passo 8

Agora, integramos em relação a y :
integral0^1 - x (1 - x - y)(32(x + y) + 12) dy
Para simplificar, vamos expandir e integrar termo a termo.

Passo 9

Após expandir e integrar, obtemos uma expressão em termos de x . Isso envolve operações algébricas e integrais básicas. O resultado dessa integração será uma função de x .

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a x :
integral0^1 (resu<ado da integral anterior) , dx
Isso nos dará o valor da integral tripla integral triplaD (x + y + z) , dV .

Passo 11

Após calcular a integral tripla, dividimos pelo volume do tetraedro V = 16 para obter o valor médio:
Valor médio = 116 times (resu<ado da integral tripla) = 6 times (resu<ado da integral tripla) é

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o valor médio da função f(x, y, z) = x + y + z sobre o tetraedro dado é:
Valor médio = 12 é

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