Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Determine o valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
,
e
.
Determine o valor médio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para encontrar o valor médio da função
sobre um tetraedro específico. Um tetraedro é uma figura geométrica de quatro faces triangulares, tipo uma pirâmide com base triangular. Os vértices desse tetraedro são os pontos
,
,
e
no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função sobre uma região tridimensional, o que envolve integrais múltiplas e o conceito de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função
em uma região
é dado por:
Onde
é o volume da região
. Então, para encontrar o valor médio da função
sobre o tetraedro dado, precisamos calcular essa integral tripla e dividir pelo volume do tetraedro.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o volume do tetraedro. Para um tetraedro com vértices em
,
,
e
, o volume
pode ser calculado usando a fórmula:
Esse valor vem da fórmula geral do volume de um tetraedro com essas coordenadas específicas.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular
. Para isso, precisamos definir os limites de integração que descrevem o tetraedro.
Observando os vértices, vemos que
,
e
variam de 0 a 1, mas estão ligados pela condição
. Então, os limites de integração são:
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Para simplificar, vamos expandir e integrar termo a termo.
Passo 9
Após expandir e integrar, obtemos uma expressão em termos de
. Isso envolve operações algébricas e integrais básicas. O resultado dessa integração será uma função de
.
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Isso nos dará o valor da integral tripla
.
Passo 11
Após calcular a integral tripla, dividimos pelo volume do tetraedro
para obter o valor médio:
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o valor médio da função
sobre o tetraedro dado é: