Mostre que:
integral0^pi2 raiz1-k^2 sin ^2(varphi) d varphi=pi2 F(-12, 12, 1 ; k^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^pi2 raiz1 - k^2sin^2varphi,dvarphi = pi2,F!l(-tfrac12,tfrac12;1;k^2r),
onde F(a,b;c;z) é a função hipergeométrica de Gauss. Vamos usar a expansão binomial para expoente fracionário, integrar termo a termo usando a fórmula de Beta para potências de sin, e depois reconhecer a série resultante como a definição de 2F1.

Passo 2

Aplicamos a expansão
(1 - k^2sin^2varphi)^12 = sumn=0^infty binomtfrac12n(-k^2sin^2varphi)^n,
onde
binomtfrac12n = tfrac12(tfrac12-1)cdots(tfrac12-n+1)n! = (-1)^n(2n)!4^n(n!)^2

Passo 3

Integramos termo a termo sobre [0,tfracpi2]:
integral0^pi2sin^2nvarphi,dvarphi = raizpi,Gammal(n+tfrac12r)2,Gamma(n+1) = pi2,(2n)!4^n(n!)^2
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integral0^pi2(1 - k^2sin^2varphi)^12dvarphi = sumn=0^infty(-1)^n(2n)!4^n(n!)^2,k^2n cdotpi2,(2n)!4^n(n!)^2

Passo 4

Reescrevendo o coeficiente em termos de Pochhammer,
(-tfrac12)n = (-1)^n(2n)!4^n,n!, (tfrac12)n = (2n)!4^n,n!, (1)n=n!,
vemos que a série acima é
pi2sumn=0^infty (-tfrac12)n,(tfrac12)n(1)n, (k^2)^nn! = pi2,2F1!l(-tfrac12,tfrac12;1;k^2r)

Resposta

integral0^pi2 raiz1 - k^2sin^2varphi,dvarphi = pi2,F!l(-tfrac12,tfrac12;1;k^2r)

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