Mostre que:
lim n longrightarrow infty F(1, n, 1 ; xn)=exp (x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyFl(1,n,1;tfracxnr)=exp(x)
Aqui F(a,b,c;z) é a série hipergeométrica
F(a,b,c;z)=sumk=0^infty(a)k,(b)k(c)k,k!,z^k,
onde (q)k=q(q+1)cdots(q+k-1) é o símbolo de Pochhammer.
Vamos usar convergência termo a termo e um majorante para trocar limite e soma.

Passo 2

Escrevendo F(1,n,1;z) pela definição,
F(1,n,1;z) =sumk=0^infty(1)k,(n)k(1)k,k!;z^k =sumk=0^infty(n)kk!;z^k,
pois (1)k=k! e (c)k com c=1 também é k!, que simplifica.

Passo 3

No caso z=tfracxn, o termo geral é
an,k =(n)kk!;l(xnr)^k =n(n+1)cdots(n+k-1)n^k;x^kk! =prodj=0^k-1l(1+jnr);x^kk!
Para cada k fixo, quando ntoinfty temos prodj=0^k-1(1+j/n)to1, logo
limntoinftyan,k=x^kk!

Passo 4

Para justificar a troca de limite e soma precisamos de um majorante independente de n. Note que, para todo n>=1 e j=0,1,dots,k-1,
1+jn<=1+jLongrightarrow prodj=0^k-1l(1+jnr)<=prodj=0^k-1(1+j)=(k!)
Então
l|an,kr| <= k!k!,l|xr|^k =l|xr|^k
E a série sumk=0^infty|x|^k converge (é uma geométrica para |x|<1, e para |x|>=1 podemos usar um majorante menor ainda, por exemplo sum e^k|x|^k/k!). Assim existe uma série convergente sum Mk tal que lvert an,krvert<= Mk. Pelo Teorema da Convergência Dominada podemos trocar limite e soma:
limntoinftyFl(1,n,1;tfracxnr) =limntoinftysumk=0^infty an,k =sumk=0^inftylimntoinftyan,k =sumk=0^inftyx^kk!

Passo 5

Como a série sumk=0^infty x^k/k! é exatamente a expansão de exp(x), concluímos
limntoinftyFl(1,n,1;tfracxnr) =exp(x)

Resposta

limntoinftyFl(1,n,1;tfracxnr)=exp(x)

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