Devido à grande diferença entre as massas dos átomos em uma molécula de ^1 H^127 I, é apropriado pensar no movimento rotacional dessa molécula como no caso do átomo de ^1 H descrevendo uma órbita estacionária em torno do átomo de ^127 I, numa distância de 160pm (comprimento da ligação em equilíbrio).
(a) Qual o valor do momento de inércia dessa molécula?
(b) Qual o valor de energia para os três primeiros níveis rotacionais (em Joule)?
(c) Qual a frequência da luz que promove a transição de J=0 J=1 ?
(d) O que mudaria nos resultados anteriores se a molécula fosse ^2 H^127 I e^3 H^127 I ?

Passo 1

O enunciado pede para tratar a molécula ^1H^127I como um rotor rígido, onde o átomo de hidrogênio gira em torno do iodo fixo a uma distância de ligação r=160:pm=1,60times10^-10:m.
Conteúdo: modelo de rotor rígido na mecânica quântica.
O que vamos precisar: massa reduzida mu, momento de inércia I, níveis de energia rotacional
EJ=J(J+1),hbar^22I,
e relação de energia-frequência nu=De<a E/h.

Passo 2

Calcular a massa reduzida
mu=mH,mImH+mI,
onde
mH=1,673times10^-27:kg, mI=127times1,6605times10^-27:kg=2,108times10^-25:kg
Logo
mu=1,673times10^-27times2,108times10^-251,673times10^-27+2,108times10^-25 approx1,66times10^-27:kg

Passo 3

Calcular o momento de inércia do rotor rígido
I=mu,r^2
I=(1,66times10^-27:kg)l(1,60times10^-10:mr)^2 approx4,25times10^-47:kg,m^2

Passo 4

Usando
EJ=J(J+1),hbar^22I, hbar=1,0546times10^-34:J,s,
temos
E0=0,
E1=1cdot2,hbar^22I=hbar^2I approx2,62times10^-22:J,
E2=2cdot3,hbar^22I=3,hbar^2I approx7,85times10^-22:J,
E3=3cdot4,hbar^22I=6,hbar^2I approx1,57times10^-21:J

Passo 5

A frequência do fóton para a transição J=0to1 é
nu=E1-E0h =2,62times10^-22:J6,626times10^-34:J,s approx3,95times10^11:Hz

Passo 6

Se substituirmos ^1H por ^2H ou ^3H, a massa reduzida mu aumenta, logo I=mu r^2 cresce e os níveis EJ diminuem. Isso faz cair também nu=De<a E/h.
Exemplos numéricos aproximados para J=1:
^2H^127I:& Iapprox8,44times10^-47:kg,m^2, E1approx1,32times10^-22:J, nuapprox1,99times10^11:Hz, ^3H^127I:& Iapprox1,26times10^-46:kg,m^2, E1approx8,86times10^-23:J, nuapprox1,34times10^11:Hz

Resposta

(a) Iapprox4,25times10^-47:kg,m^2.
(b) E0=0,;E1approx2,62times10^-22:J,;E2approx7,85times10^-22:J,;E3approx1,57times10^-21:J
(c) nu0to1approx3,95times10^11:Hz
(d) Com ^2H ou ^3H no lugar de ^1H, mu e I aumentam, então EJ e nu diminuem (valores numéricos acima).

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