\hline QUESTÃO 3 : A bobina tem 50 kg de massa e raio de giração em relação ao seu centro de massa G, kG=0,28 m. Se ela é solta do repouso, determine que distância seu centro desce antes que ela atinja a velocidade angular de 10 rad / s. O coeficiente de atrito cinético entre a bobina e o plano em A é muk=0,2. Despreze a massa da corda. & \
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Passo 1

Beleza, então o que temos? Uma bobina de massa
m=50rm kg
e raio de giração em torno do CM
kG=0,28rm m,,
que está apoiada num plano em A com atrito cinético
muk=0,20,
Ela parte do repouso e, ao descer, escorrega e ao mesmo tempo gira. A meta é achar a distância s (ao longo do plano) que o centro dela percorre até que sua velocidade angular chegue a
omega=10rm rad/s,
Conteúdo envolvido: estática do atrito, dinâmica de translação ( sum F=ma) e de rotação ( sum M=I,alpha), além de cinemática ( v=a,t e omega=alpha,t).

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo-livre no cilindro (bobina) deslizando no plano inclinado de ângulo theta:
  • Peso m,g vertical
  • Normal N=m,gcostheta
  • Atrito cinético f=muk,N=muk,m,gcostheta, atuando para cima ao longo do plano
    Esse atrito é quem faz o torque que acelera a rotação.

Passo 3

Escrevendo as equações:
  1. Translação ao longo do plano:
sum F=m,aLongrightarrow m,gsintheta - f = m,a ;;Rightarrow;; a = gl(sintheta - mukcosthetar),
  1. Rotação em torno do centro:
sum M = I,alphaLongrightarrow f,R = m,kG^2,alpha ;;Rightarrow;; alpha = f,Rm,kG^2 = muk,m,gcostheta;Rm,kG^2 = muk,gcostheta;RkG^2,

Passo 4

Agora a cinemática: como parte do repouso,
v = a,t, omega = alpha,t ;;Longrightarrow;; t = omegaalpha,, v = a,omegaalpha,
E a distância percorrida ao longo do plano é
s = tfrac12,a,t^2 = 12,a;l(omegaalphar)^!2 = a2,alpha^2;omega^2,
Basta agora substituir a e alpha:
s = 12,g(sintheta - mukcostheta)l(dfracmuk,gcostheta;RkG^2r)^2;omega^2 = (sintheta - mukcostheta),kG^42,muk^2,g,cos^2theta,R^2;omega^2,

Resposta

A distância s que o centro da bobina percorre ao longo do plano antes de atingir omega=10,rad/s é
boxed s ;=; (sintheta - muk,costheta);kG^42,muk^2,g,cos^2theta,R^2;omega^2 ,,
onde theta e R vêm do desenho do plano e do raio onde a corda se enrola.

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