As falhas das unidades centrais de processamento de grandes sistemas computacionais são frequentemente modeladas como um processo de Poisson. Suponha que as unidades de processamento que falham sejam imediatamente reparadas e que o número médio de falhas por hora seja 0,0001 . Seja X o tempo em horas até quatro falhas ocorram nesse sistema.
Calcule a probabilidade de X ser maior que 40000 horas. (DICA: Utilize a relação dessa variável com a Poisson, tal como feito em aula.)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. A gente tem um sistema computacional grande onde as falhas das unidades centrais de processamento acontecem de forma aleatória, seguindo um processo de Poisson. O número médio de falhas por hora é de 0,0001. A variável $ X $ representa o tempo que vai levar até ocorrerem quatro falhas. A pergunta é: qual a probabilidade de $ X $ ser maior que 40.000 horas?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o processo de Poisson e como ele se relaciona com o tempo até um certo número de eventos ocorrer. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo de Poisson. É um modelo estatístico que descreve a ocorrência de eventos aleatórios em um intervalo de tempo ou espaço. No nosso caso, o intervalo é o tempo (horas) e os eventos são as falhas nas unidades de processamento.
A taxa média de ocorrência desses eventos é denotada por $ \lambda $. Aqui, $ \lambda = 0,0001 $ falhas por hora. Isso significa que, em média, teremos 0,0001 falhas a cada hora.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo $ X $ até a quarta falha seja maior que 40.000 horas, ou seja, $ P(X > 40000) $.
Para isso, vamos usar a relação entre o tempo até o quarto evento em um processo de Poisson e a distribuição de Poisson para contar o número de eventos em um intervalo de tempo fixo.

Passo 4

A probabilidade de que $ X > t $ (no nosso caso, 40.000 horas) é igual à probabilidade de que menos de 4 falhas ocorram em $ t $ horas. Isso é dado por:
X > t
Onde $ N(t) $ é o número de falhas que ocorrem em $ t $ horas.

Passo 5

Sabendo que $ N(t) $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda t $, temos:
N(t)
Então, $ N(t) $ segue uma distribuição de Poisson com média 4.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(N(40000) < 4) $, que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2 ou 3 falhas em 40.000 horas. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(N(40000) < 4)
Então, temos:
P(N(t) = k) = e^-lambda t (lambda t)^kk!

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(N(t) = 0) = e^-4 times 4^00! = e^-4 times 1 / 1 = e^-4 approx 0,0183
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1
  1. Para $ k = 3 $:
P(N(t) = 1) = e^-4 times 4^11! = e^-4 times 4 / 1 approx 0,0183 times 4 = 0,0733

Passo 8

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(N(t) < 4) = 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,1951 approx 0,4332

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser maior que 40.000 horas é aproximadamente 43,3%.

Exercícios relacionados