Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(i) 3 meninos

Passo 1

O enunciado dá uma turma com 6 meninas e 10 meninos, ou seja, 6+10=16 alunos no total. Escolhe-se aleatoriamente uma comissão de 3 pessoas.
A pergunta é: encontrar a probabilidade de que a comissão tenha exatamente 3 meninos (ou seja, todos os membros sejam meninos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de meninas: 6.
  • Número de meninos: 10.
  • Tamanho da comissão: 3.
  • Seleção é aleatória e sem ordem (uma comissão — a ordem dos escolhidos não importa).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e simples): quando a ordem não importa e queremos contar quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos, usamos a combinação, denotada por \binom{n}{k}. A fórmula é:
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Intuição: \binom{n}{k} conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. Em problemas de probabilidade como este, o total de resultados igualmente prováveis é \binom{\text{total}}{\text{tamanho da escolha}} e o número de casos favoráveis é \binom{\text{número do tipo desejado}}{\text{tamanho}}ú.

Passo 3

Calcular o número total de comissões possíveis (todas as escolhas de 3 pessoas entre os 16 alunos):
\binom{16}{3}=\dfrac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos simples para calcular à mão:
15\div3=5,\qquad 14\div2=7,\qquad 16\div1=16,
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\binom{16}{3}=16\cdot5\cdot7=560.
Portanto, existem 560 comissões distintas possíveis.

Passo 4

Calcular o número de comissões favoráveis (escolher 3 meninos entre os 10 meninos):
\binom{10}{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos à mão:
9\div3=3,\qquad 8\div2=4,\qquad 10\div1=10,
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\binom{10}{3}=10\cdot3\cdot4=120.
Existem 120 comissões formadas só por meninos.

Passo 5

Probabilidade (razão entre casos favoráveis e casos totais). Escrevendo a fração:
P(\text{3 meninos})=\dfrac{\binom{10}{3}}{\binom{16}{3}}=\dfrac{120}{560}.
(Este é o resultado em forma de fração não simplificada obtida pelos contagens anteriores.)

Passo 6

Checagem alternativa (método por probabilidade sequencial sem reposição, para verificação e intuição): escolher três pessoas aleatoriamente sem ordem é equivalente, em probabilidades, a considerar três retiradas sucessivas sem reposição e multiplicar as probabilidades condicionais:
P=\dfrac{10}{16}\cdot\dfrac{9}{15}\cdot\dfrac{8}{14}.
Fazendo simplificações parciais isso fornece a mesma razão entre contagens combinatórias mostradas antes (verifica o resultado).

Resposta

\dfrac{3}{14}

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