Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(i) 3 meninos
(i) 3 meninos
Passo 1
O enunciado dá uma turma com
meninas e
meninos, ou seja,
alunos no total. Escolhe-se aleatoriamente uma comissão de
pessoas.
A pergunta é: encontrar a probabilidade de que a comissão tenha exatamente meninos (ou seja, todos os membros sejam meninos).
A pergunta é: encontrar a probabilidade de que a comissão tenha exatamente
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de meninas:
. - Número de meninos:
. - Tamanho da comissão:
. - Seleção é aleatória e sem ordem (uma comissão — a ordem dos escolhidos não importa).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e simples): quando a ordem não importa e queremos contar quantas maneiras podemos escolher
elementos de um conjunto de
elementos, usamos a combinação, denotada por
. A fórmula é:
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
.
Intuição: conta quantos subconjuntos de tamanho
existem em um conjunto de
elementos. Em problemas de probabilidade como este, o total de resultados igualmente prováveis é
e o número de casos favoráveis é
.
Intuição:
Passo 3
Calcular o número total de comissões possíveis (todas as escolhas de
pessoas entre os
alunos):
Fazendo cancelamentos simples para calcular à mão:
logo
Portanto, existem
comissões distintas possíveis.
Passo 4
Calcular o número de comissões favoráveis (escolher
meninos entre os
meninos):
Fazendo cancelamentos à mão:
logo
Existem
comissões formadas só por meninos.
Passo 5
Probabilidade (razão entre casos favoráveis e casos totais). Escrevendo a fração:
(Este é o resultado em forma de fração não simplificada obtida pelos contagens anteriores.)
Passo 6
Checagem alternativa (método por probabilidade sequencial sem reposição, para verificação e intuição): escolher três pessoas aleatoriamente sem ordem é equivalente, em probabilidades, a considerar três retiradas sucessivas sem reposição e multiplicar as probabilidades condicionais:
Fazendo simplificações parciais isso fornece a mesma razão entre contagens combinatórias mostradas antes (verifica o resultado).