Dez pessoas, dentre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isso pode ser feito de modo que Antônio e Beatriz fiquem sempre juntos?
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos dez pessoas que vão formar uma fila, incluindo Antônio e Beatriz. A pergunta é: de quantas maneiras podemos organizar essa fila de modo que Antônio e Beatriz fiquem sempre juntos. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de princípios de contagem, especificamente permutação com restrições. Vamos precisar entender como tratar dois elementos que devem estar sempre juntos como uma única unidade e depois calcular as possíveis arrumações.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que Antônio e Beatriz são uma única “pessoa”. Assim, ao invés de termos dez pessoas para organizar, passamos a ter nove unidades: a “unidade Antônio-Beatriz” e as outras oito pessoas.
Passo 3
Agora, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas nove unidades em uma fila. Para isso, usamos a fórmula de permutação, que é o número de formas de ordenar $ n $ elementos distintos:
Então, para 9 unidades, temos:
Passo 4
Mas atenção! Dentro da “unidade Antônio-Beatriz”, eles podem trocar de lugar. Ou seja, Antônio pode ficar antes de Beatriz ou vice-versa. Isso nos dá 2 opções para cada arranjo das nove unidades.
Passo 5
Para encontrar o total de arranjos onde Antônio e Beatriz estão sempre juntos, multiplicamos o número de arranjos das nove unidades pelo número de formas internas de organizar Antônio e Beatriz:
Resposta
Existem 725.760 maneiras de organizar a fila de dez pessoas de modo que Antônio e Beatriz fiquem sempre juntos.