Um operador de rádio envia pontos e traços com igual probabilidade. Devido a perturbações atmosféricas:
- A probabilidade de um ponto ser recebido como traço é
frac
.
- A probabilidade de um traço ser recebido como ponto é
frac
.
Sabendo que o receptor interpreta todos os sinais aparentes como verdadeiros (pontos como pontos, traços como traços), qual é a probabilidade de haver um erro na transmissão?
Sabendo que o receptor interpreta todos os sinais aparentes como verdadeiros (pontos como pontos, traços como traços), qual é a probabilidade de haver um erro na transmissão?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um operador de rádio que envia pontos e traços com a mesma probabilidade. Porém, por causa de interferências na atmosfera, às vezes as mensagens não chegam exatamente como foram enviadas. Precisamos descobrir qual a chance de ocorrer um erro na transmissão dessas mensagens.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade condicional. Vamos precisar entender como calcular a chance de um ponto ser confundido com traço e vice-versa, e depois combinar essas probabilidades considerando que pontos e traços são enviados com igual frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de erro quando o operador envia um ponto. A questão diz que a chance de um ponto ser recebido como traço é de
. Isso significa que:
- Probabilidade de um ponto ser recebido corretamente como ponto:
. - Probabilidade de erro (ponto interpretado como traço):
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de erro quando o operador envia um traço. A probabilidade de um traço ser recebido como ponto é de
. Assim:
- Probabilidade de um traço ser recebido corretamente como traço:
. - Probabilidade de erro (traço interpretado como ponto):
.
Passo 4
Como o operador envia pontos e traços com a mesma probabilidade, podemos considerar que a chance de enviar um ponto é
e a de enviar um traço também é
. Para encontrar a probabilidade total de erro na transmissão, vamos somar as probabilidades de erro de cada caso ponderadas pela probabilidade de cada mensagem ser enviada:
Substituindo os valores:
Resposta
A probabilidade de haver um erro na transmissão é de
, ou aproximadamente 22,5%.