Um operador de rádio envia pontos e traços com igual probabilidade. Devido a perturbações atmosféricas:
  • A probabilidade de um ponto ser recebido como traço é 15 backslash frac 15.
  • A probabilidade de um traço ser recebido como ponto é 14 backslash frac 14.
    Sabendo que o receptor interpreta todos os sinais aparentes como verdadeiros (pontos como pontos, traços como traços), qual é a probabilidade de haver um erro na transmissão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um operador de rádio que envia pontos e traços com a mesma probabilidade. Porém, por causa de interferências na atmosfera, às vezes as mensagens não chegam exatamente como foram enviadas. Precisamos descobrir qual a chance de ocorrer um erro na transmissão dessas mensagens.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade condicional. Vamos precisar entender como calcular a chance de um ponto ser confundido com traço e vice-versa, e depois combinar essas probabilidades considerando que pontos e traços são enviados com igual frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de erro quando o operador envia um ponto. A questão diz que a chance de um ponto ser recebido como traço é de 15. Isso significa que:
  • Probabilidade de um ponto ser recebido corretamente como ponto: 1 - 15 = 45.
  • Probabilidade de erro (ponto interpretado como traço): 15.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de erro quando o operador envia um traço. A probabilidade de um traço ser recebido como ponto é de 14. Assim:
  • Probabilidade de um traço ser recebido corretamente como traço: 1 - 14 = 34.
  • Probabilidade de erro (traço interpretado como ponto): 14.

Passo 4

Como o operador envia pontos e traços com a mesma probabilidade, podemos considerar que a chance de enviar um ponto é 12 e a de enviar um traço também é 12. Para encontrar a probabilidade total de erro na transmissão, vamos somar as probabilidades de erro de cada caso ponderadas pela probabilidade de cada mensagem ser enviada:
P(Erro) = P(Erro | Ponto) times P(Ponto) + P(Erro | Traço) times P(Traço) çç
Substituindo os valores:
P(Erro) = (15) times (12) + (14) times (12)
P(Erro) = 110 + 18 = 440 + 540 = 940

Resposta

A probabilidade de haver um erro na transmissão é de 940, ou aproximadamente 22,5%.

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