Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual é probabilidade de que duas determinadas pessoas, digamos 1 e 2, façam parte do mesmo grupo? Dica: Idealize um espaço amostral
em que cada elemento é uma possível distribuição das 10 pessoas em 2 grupos, digamos
e
.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre separar 10 pessoas em dois grupos de 5 cada. Queremos descobrir qual é a probabilidade de duas pessoas específicas, digamos a pessoa 1 e a pessoa 2, acabarem no mesmo grupo. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de combinatória, que nos ajudam a contar de quantas maneiras possíveis podemos organizar essas pessoas nos grupos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes existem para separar 10 pessoas em dois grupos de 5. Isso é dado pela combinação de 10 pessoas tomadas 5 a 5, que é representada por:
Essa notação significa “10 escolhe 5” e calcula quantas combinações distintas de 5 pessoas podemos formar a partir de 10.
Passo 3
Agora, queremos saber de quantas dessas combinações as pessoas 1 e 2 estarão juntas no mesmo grupo. Se já colocamos a pessoa 1 e a pessoa 2 no mesmo grupo, então precisamos escolher mais 3 pessoas das restantes 8 para completar esse grupo de 5. Isso é calculado por:
Ou seja, “8 escolhe 3” para completar o grupo que já tem as pessoas 1 e 2.
Passo 4
Para encontrar a probabilidade de que as pessoas 1 e 2 estejam no mesmo grupo, dividimos o número de maneiras favoráveis (onde elas estão juntas) pelo número total de maneiras possíveis de formar os grupos. Assim:
Passo 5
Vamos calcular os valores:
Então, a probabilidade fica:
Resposta
A probabilidade de que as duas pessoas específicas fiquem no mesmo grupo é
.