Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra ordenada sem reposição;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote com 35 peças, onde 20 são boas (conformes) e 15 são defeituosas (não conformes). A gente vai tirar uma amostra de 10 peças desse lote, sem colocar de volta (ou seja, sem reposição). A pergunta é: qual é a probabilidade de exatamente 5 dessas 10 peças serem defeituosas?
Aqui, vamos usar o conceito de probabilidade combinatória, que nos ajuda a calcular as chances de ocorrerem certos eventos quando estamos lidando com seleção de elementos de um grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, ao selecionar 10 peças de um total de 35, estamos lidando com combinações, já que a ordem não importa aqui. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens.
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher.
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 10 peças de 35, que é $ C(35, 10) $. Isso nos dá todas as possíveis combinações sem considerar a qualidade das peças.
C(35, 10)

Passo 4

Em seguida, queremos exatamente 5 peças defeituosas. Como temos 15 defeituosas no total, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 5 defeituosas dessas 15:
C(15, 5) = 15!5!(15 - 5)!

Passo 5

Além disso, se 5 peças são defeituosas, as outras 5 precisam ser boas. Temos 20 peças boas, então vamos ver de quantas maneiras podemos escolher 5 boas dessas 20:
C(20, 5) = 20!5!(20 - 5)!

Passo 6

Agora, para achar a quantidade de maneiras de escolher 5 defeituosas e 5 boas ao mesmo tempo, multiplicamos as combinações que encontramos:
C(15, 5) times C(20, 5)

Passo 7

Finalmente, para encontrar a probabilidade de exatamente 5 peças serem defeituosas na amostra de 10, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
P = C(15, 5) times C(20, 5)C(35, 10)

Resposta

A probabilidade de observar exatamente 5 peças defeituosas na amostra de 10 é:
P = C(15, 5) times C(20, 5)C(35, 10)
Calculando os valores:
P approx 3003 times 15504183579396 approx 0,253
Ou seja, aproximadamente 25,3% de chance de exatamente 5 peças serem defeituosas na amostra escolhida.

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