Em um dia de bastante movimento, o tempo que um cliente espera para ser atendido no caixa de um supermercado pode ser considerado uma variável aleatória " t " e cuja função densidade de probabilidade é dada por:
\begin{array}{ll} f(x)=0 ; & \text { para } x<4 e x>14 \\\ f(x)=2 / 35 ; & \text { para } 4 \leq x<9 \\\ f(x)=(28-2 x) / 35 ; & \text { para } 9 \leq x \leq 14 \end{array}
Sendo " t " dado em minutos. Sabe-se que um cliente esteja esperando para ser atendido há 8 Minutos, determine a probabilidade de que seu tempo total de espera seja menor do que 12 Minutos ( \mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado descreve a v.a. T\) com densidade \[f(x)=\begin{cases} 0,&x<4\text{ ou }x>14,\\\ \dfrac{2}{35},&4\le x<9,\\[6pt] \dfrac{28-2x}{35},&9\le x\le14, \end{cases}
e pede a probabilidade condicional de que T<12\] dado que já se esperou 8 minutos, isto é \[P\bigl(T<12\mid T>8\bigr) =\frac{P\bigl(8<T<12\bigr)}{P\bigl(T>8\bigr)}.\] Para isso, precisamos da função de distribuição acumulada \(F(x).]

Passo 2

Para 4\le x<9 temos
F(x)=\int_{4}^{x}\frac{2}{35}\,dt =\frac{2}{35}(x-4).
Para 9\le x\le14 escrevemos
F(x)=F(9^-)+\int_{9}^{x}\frac{28-2t}{35}\,dt =\frac{10}{35}+\frac{1}{35}\Bigl[28(t-9)-\bigl(t^2-9^2\bigr)\Bigr]_{t=9}^{t=x},
onde F(9^-)=\frac{2}{35}\times5=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}. Simplificando,
F(x) =\frac{2}{7}+\frac{-x^2+28x-171}{35}.

Passo 3

Como 8<9, usamos a primeira expressão para obter
F(8)=\frac{2}{35}(8-4)=\frac{8}{35}.

Passo 4

Como 12\in[9,14], usamos a segunda expressão para obter
F(12) =\frac{2}{7}+\frac{-12^2+28\cdot12-171}{35} =\frac{2}{7}+\frac{21}{35} =\frac{10}{35}+\frac{21}{35} =\frac{31}{35}.

Passo 5

Calculamos
P(8<T<12)=F(12)-F(8)=\frac{31}{35}-\frac{8}{35}=\frac{23}{35},
P(T>8)=1-F(8)=1-\frac{8}{35}=\frac{27}{35},
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P\bigl(T<12\mid T>8\bigr) =\frac{\tfrac{23}{35}}{\tfrac{27}{35}} =\frac{23}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{27}\approx0{,}852

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