Uma empresa que fabrica cubos mágicos utiliza chapas de policarbonato de 10 \times 10 \mathrm{~cm} 2. O setor da qualidade desta empresa a partir de ensaios calculou a existência de 50 falhas por metro quadrado \left(\mathrm{m}^{2}\right) de policarbonato em média, conforme uma distribuiçăo de Poisson. Calcule as probabilidades das perguntas a seguir ( 2,0 pontos).
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face do cubo mágico apresentar duas falhas?:

Passo 1

O enunciado informa que há, em média, 50 falhas por metro quadrado de policarbonato e que o número de falhas segue uma distribuição de Poisson. Precisamos calcular a probabilidade de exatamente duas falhas numa face do cubo mágico.

Passo 2

Cada face do cubo tem área de 10\text{ cm}\times10\text{ cm}=100\text{ cm}^2. Em metros quadrados,
100\text{ cm}^2 = 100\times10^{-4}\text{ m}^2 = 0{,}01\text{ m}^2.
Como a taxa é de 50 falhas por \text{m}^2, o parâmetro \lambda para a área de uma face é
\lambda = 50\times0{,}01 = 0{,}5.

Passo 3

Para uma variável X com distribuição de Poisson( \lambda),
P(X=k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}.
Aqui queremos k=2 e \lambda=0{,}5, logo
P(X=2) = e^{-0{,}5}\,\frac{(0{,}5)^2}{2!}.

Passo 4

Calculando numericamente:
e^{-0{,}5}\approx0{,}60653,\quad (0{,}5)^2=0{,}25,\quad 2!=2,
P(X=2)\approx0{,}60653\times\frac{0{,}25}{2}=0{,}60653\times0{,}125\approx0{,}0758.

Resposta

P(X=2)=e^{-0,5}\dfrac{0,5^2}{2!}\approx0,0758

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