Em um dia quente, um termômetro é posto do lado de fora de uma sala com ar-condicionado onde a temperatura é de é 21^{\circ} \mathrm{C}. Após um minuto ele marca 27^{\circ} \mathrm{C} e após 2 minutos marca 30^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual é a temperatura externa?
(b) Esboce o gráfico da função da temperatura.

Passo 1

O enunciado diz que um termômetro parte de T(0)=21^\circ\mathrm{C} (sala com ar-condicionado) e, exposto ao ar livre com temperatura constante T_e, marca T(1)=27^\circ\mathrm{C} e T(2)=30^\circ\mathrm{C}. O conteúdo é a lei de resfriamento/aquecimento de Newton, cujo modelo geral é
T(t)=T_e+\bigl(T(0)-T_e\bigr)e^{-kt}.

Passo 2

Substituindo no modelo para t=1 e t=2, obtemos o sistema
T(1)=T_e+(21-T_e)e^{-k}=27,
T(2)=T_e+(21-T_e)e^{-2k}=30.

Passo 3

Para eliminar k, defina A=21-T_e. Então
A e^{-k}=27-T_e, \quad A e^{-2k}=30-T_e.
Como e^{-2k}=(e^{-k})^2, segue
(27-T_e)^2 = A\,(30-T_e) = (21-T_e)(30-T_e).
Expandindo e cancelando T_e^2, fica
729-54T_e = 630-51T_e \;\Longrightarrow\; T_e = 33^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Com T_e=33, voltamos a T(1)=27:
33 + (21-33)e^{-k} =27 \;\Longrightarrow\; -12\,e^{-k}=-6 \;\Longrightarrow\; e^{-k}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\; k=\ln2.

Passo 5

A solução completa é
T(t)=33 + (21-33)e^{-\,(\ln2)t} =33 -12\cdot2^{-t}.
O gráfico é uma curva exponencial crescente que parte de T(0)=21, passa por (1,27) e (2,30), é côncava para baixo e se aproxima assintoticamente de T=33.

Resposta

(a) 33^\circ\mathrm{C}
(b) Gráfico de T(t)=33-12\cdot2^{-t}: curva exponencial crescente de 21 em t=0 para a assíntota horizontal T=33, passando em (1,27) e (2,30).

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