Polônio-214 tem uma meia-vida muito curta de 1,4 \times 10^{-4} \mathrm{~s}.
(a) Se uma amostra tem uma massa de 50 mg , encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de t segundos.
(b) Encontre a massa remanescente após um centésimo de segundo.
(c) Quanto tempo levaria para a massa decair para 40 mg ?

Passo 1

O enunciado trata da decadência radioativa do polônio-214, cuja meia-vida é T_{1/2}=1,4\times10^{-4} s. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial, que diz que a massa remanescente m(t) depois de t segundos é dada por
m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}},
onde m_0 é a massa inicial.

Passo 2

Vamos calcular a constante de decaimento em forma de potência de dois. Não precisamos achar \lambda explictamente; basta usar que a cada intervalo de duração T_{1/2} a massa cai pela metade.

Passo 3

(a) Substituindo m_0=50 mg e T_{1/2}=1,4\times10^{-4} s no modelo, obtemos
m(t)=50\,\mathrm{mg}\,\left(\frac12\right)^{\frac{t}{1,4\times10^{-4}}}.

Passo 4

(b) Para t=0,01 s,
\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{0,01}{1,4\times10^{-4}}\approx71,43,
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m(0,01)=50\,\mathrm{mg}\times2^{-71,43}\approx50\times3{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{mg}\approx1,6\times10^{-20}\,\mathrm{mg}.

Passo 5

(c) Queremos m(t)=40 mg. Da fórmula
40=50\left(\tfrac12\right)^{\frac{t}{1,4\times10^{-4}}},
temos
\left(\tfrac12\right)^{\frac{t}{1,4\times10^{-4}}}=\frac{40}{50}=0,8 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{1,4\times10^{-4}}=\log_2(1,25)\approx0,3219,
portanto
t\approx0,3219\times1,4\times10^{-4}\,\mathrm{s}\approx4,5\times10^{-5}\,\mathrm{s}.

Resposta

(a) \displaystyle m(t)=50\,\mathrm{mg}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{1,4\times10^{-4}}}.
(b) m(0,01)\approx1,6\times10^{-20}\,\mathrm{mg}.
(c) t\approx4,5\times10^{-5}\,\mathrm{s}.

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