Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de 120^{\circ} entre si, quais são as medidas dos ângulos que as diagonais formam com os lados do retângulo?

Passo 1

O enunciado diz que num retângulo de lados a (horizontal) e b (vertical) as diagonais formam entre si um ângulo de 120^\circ. Queremos achar os ângulos que cada diagonal faz com os lados do retângulo. Para isso vamos modelar as diagonais como vetores e usar produto escalar para obter as relações trigonométricas necessárias.

Passo 2

Represente as diagonais por
\vec{d_1}=(a,b), \quad \vec{d_2}=(a,-b).
O cosseno do ângulo entre elas é
\cos 120^\circ =\frac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\|\;\|\vec{d_2}\|} =\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}.
Como \cos120^\circ=-\tfrac12, segue
\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = -\frac12 \;\;\Longrightarrow\;\; 2(a^2 - b^2)=-(a^2 + b^2) \;\;\Longrightarrow\;\; 3a^2 = b^2 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac b a = \sqrt{3}.

Passo 3

Agora, para a diagonal \vec{d_1}=(a,b), o ângulo \theta que ela faz com o lado horizontal (vetor (a,0)) satisfaz
\cos\theta =\frac{\vec{d_1}\cdot(a,0)}{\|\vec{d_1}\|\;a} =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}\,a} =\frac{1}{\sqrt{1+(\tfrac b a)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+3}} =\frac12,
logo \theta=60^\circ.

Passo 4

O outro ângulo \varphi que \vec{d_1} faz com o lado vertical (vetor (0,b)) é
\varphi = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
(Alternativamente, \cos\varphi=b/\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt3/2.)

Resposta

Cada diagonal forma um ângulo de 60^\circ com o lado maior (horizontal) e 30^\circ com o lado menor (vertical).

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